MT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
MT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 8 2018
Hai vế không đồng bậc, không có điều kiện hay phụ số, bạn xem lại đề.
MH
1
9 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}=\dfrac{a^2}{4a^2+2ab+2ac+bc}=\dfrac{a^2}{2a\left(a+b+c\right)+\left(2a^2+bc\right)}\)
\(\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a^2}{a\left(a+b+c\right)}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)\(=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2a}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}\right)\)
Suy ra BĐT cần chứng minh viết lại như sau:
\(\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}+\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\right)\le\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{c^2}{2c^2+ab}\le\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{9}}-2=1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}+\dfrac{2b^2}{2b^2+ca}+\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\le2\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\dfrac{2a^2}{2a^2+bc}\right)+\left(1-\dfrac{2b^2}{2b^2+ca}\right)+\left(1-\dfrac{2c^2}{2c^2+ab}\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{bc}{bc+2a^2}=\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+2a^2bc}\ge\dfrac{b^2c^2}{b^2c^2+a^2\left(b^2+c^2\right)}=\dfrac{b^2c^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{ca}{2b^2+ca}\ge\dfrac{c^2a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2};\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\dfrac{bc}{2a^2+bc}+\dfrac{ca}{2b^2+ca}+\dfrac{ab}{2c^2+ab}\ge\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}=1\)
Vậy BĐT cuối đúng hay ta có ĐPCM
HR
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 11 2017
Lời giải:
Ta có:
\(\sum \frac{1}{a+ab}\geq \frac{3}{abc+1}\Leftrightarrow \sum \frac{abc+1}{a(b+1)}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \sum \frac{bc}{b+1}+\sum\frac{1}{a(b+1)}\geq 3\)
\(\Leftrightarrow \sum \frac{b(c+1)}{b+1}+\sum \frac{a+1}{a(b+1)}\geq 6\)
BĐT trên luôn đúng vì theo BĐT AM-GM thì:
\(\sum \frac{b(c+1)}{b+1}+\sum \frac{a+1}{a(b+1)}=\frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{c(a+1)}{c+1}+\frac{a(b+1)}{a+1}+\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{b+1}{b(c+1)}+\frac{c+1}{c(a+1)}\)
\(\geq 6\sqrt[6]{\frac{abc(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}{abc(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}}=6\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 6 2021
Lời giải tại link sau:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-abc-la-cac-so-duongcmr-dfrac1a2bcdfrac1b2acdfrac1c2abledfracabc2abc.193908584039
thay đề liên tục nhỉ
\(\sum\dfrac{1}{a}=\dfrac{\left(b^2+c^2\right)}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2+c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2+a^2}{c\left(b^2+a^2\right)}\)
\(=\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{c^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{a^2}{c\left(a^2+b^2\right)}\)
=\(\sum\left(\dfrac{a^2}{b\left(a^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{a\left(b^2+c^2\right)}\right)\ge\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{b\left(a^2+c^2\right)+a\left(b^2+c^2\right)}\) cauchy shawrtz
\(=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a^2b+bc^2+ab^2+ac^2}=\sum\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)\left(ab+c^2\right)}\)
\(=\sum\dfrac{a+b}{ab+c^2}\)(Q.E.D)
@Vũ Tiền Châu @Akai Haruma @Mysterious Person @Phùng Khánh Linh