CN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
2 tháng 12 2021
Câu 1
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24
PT
1
TN
9 tháng 11 2016
\(A=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab\)
\(=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{2}{2ab}+\frac{32}{ab}+2ab+\frac{2}{ab}\)
\(\ge\frac{2\sqrt{2^2}}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{32}{ab}\cdot2ab}+\frac{2}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(\ge\frac{1}{2}+2\cdot8+\frac{1}{2}=17\)
NT
0
NT
0
ML
15 tháng 10 2015
a/
-Cauchy-Schwar
\(P=\sum\frac{a^4}{a\sqrt{b^2+3}}\ge\frac{\left(\sum a^2\right)^2}{\sum a\sqrt{b^2+3}}\)
Côsi: \(\sum a\sqrt{b^2+3}=\frac{1}{2}\sum2a.\sqrt{b^2+3}\le\frac{1}{2}.\sum\frac{\left(2a\right)^2+b^2+3}{2}=\frac{1}{4}.\left[5\left(a^2+b^2+c^2\right)+3.3\right]=6\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3^2}{6}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
b/
Côsi: \(8^x+8^x+64\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.64}=12.4^x\Rightarrow8^x\ge6.4^x-32\)
\(\Rightarrow8^x+8^y+8^z\ge6\left(4^x+4^y+4^z\right)-96\)
\(4^x+4^y+4^z\ge3\sqrt[3]{4^{x+y+z}}=3\sqrt[3]{4^6}=48\)
\(\Rightarrow-2\left(4^x+4^y+4^z\right)\le-96\)
\(\Rightarrow8^x+8^y+8^z\ge6\left(4^x+4^y+4^z\right)-2\left(4^x+4^y+4^z\right)=4^{x+1}+4^{y+1}+4^{z+1}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=5a+6b+7c+\frac{1}{a}+\frac{8}{b}+\frac{27}{c}\)
\(=4\left(a+b+c\right)+\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{8}{b}+2b\right)+\left(\frac{27}{c}+3c\right)\)
\(\ge4\cdot6+2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot a}+2\sqrt{\frac{8}{b}\cdot2b}+2\sqrt{\frac{27}{c}\cdot3c}\)
\(\ge24+2+2\cdot4+2\cdot9=52\)
Xảy ra khi \(\frac{1}{a}=a;\frac{8}{b}=2b;\frac{27}{c}=3c\Rightarrow a=1;b=2;c=3\)