TA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
0
2 tháng 12 2016
a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014
=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
<=> a3 + b3 ≤ a + b
<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
HN
10 tháng 4 2017
\(a^2+b^2\le ab+1\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\le1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le a+b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^5+b^5\right)\left(a^3+b^3\right)\le\left(a^7+b^7\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab^7+a^7b-a^3b^5-a^5b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b^6+a^6-a^2b^4-a^4b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(b-a\right)^2\left(b+a\right)^2\left(b^2+a^2\right)\ge0\) (đúng)
\(\RightarrowĐPCM\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi ......
DT
1
HN
30 tháng 3 2017
Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^5+a\ge2a^3\\b^5+b\ge2b^3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^5\ge2a^3-a\\b^5\ge2b^3-b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^5+b^5\ge2a^3+2b^3-a-b\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\ge2a^3+2b^3-a-b\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\le a+b\)
\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le a+b\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le1+ab\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=1\)
N
20 tháng 7 2019
\(n^3+100=n^2.\left(n+10\right)-10n^2+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100n+100\)
\(=n^2.\left(n+10\right)-10n.\left(n+10\right)+100.\left(n+10\right)-900\)
\(=\left(n+10\right).\left(n^2-10n+100\right)-900\)
Để n3+100 chia hết cho n+10 => -900 chia hết cho n+10 => n+10 thuộc Ư(900)
Vì n lớn nhất => n+10 lớn nhất => n+10=900 => n=890
Vậy n=890
N
20 tháng 7 2019
Xét a là một số tự nhiên bất kỳ. Dễ thấy, nếu a chia hết cho 3 => a3 chia hết cho 9 (1)
Xét: \(a\equiv1\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv1\left(mod9\right)\)(2)
\(a\equiv2\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv8\left(mod9\right)\)(3)
\(a\equiv4\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv64\equiv1\left(mod9\right)\)(4)
\(a\equiv5\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv125\equiv8\left(mod9\right)\)(5)
\(a\equiv7\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv343\equiv1\left(mod9\right)\)(6)
\(a\equiv8\left(mod9\right)\Rightarrow a^3\equiv512\equiv8\left(mod9\right)\)(7)
Từ (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7) => lập phương của 1 số nguyên bất kỳ khi chia cho 9 có số dư là 0,1,8
Dễ thấy: để a3+b3+c3 chia hết cho 9 => 1 trong 3 số a,b,c hoặc cả 3 số a,b,c phải chia hết cho 3 =>
=> abc chia hết cho 3. Vậy a3+b3+c3 chia hết cho 9 thì abc chia hết cho 3
\(a^2+b^2\le1+ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-\left(a+b\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a+b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3\right)^2\le\left(a+b\right)\left(a^5+b^5\right)\) (Do \(a^3+b^3=a^5+b^5\) )
\(\Leftrightarrow a^6+2a^3b^3+b^6\le a^6+ab^5+a^5b+b^6\)
\(\Leftrightarrow2a^3b^3\le ab^5+a^5b\)
\(\Leftrightarrow a^5b+ab^5+2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^4+b^4+2a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b>0\))
Vậy \(a^2+b^2\le1+ab\)