Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014
→ (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
↔ (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
↔a3 + b3 ≤ a + b
↔ (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
↔ a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
↔ 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
↔ ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
↔ ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
a)Giả sử n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2
=> k2 – n2 = 2014
=> (k – n)(k + n) = 2014 (1)
Mà (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (1) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Ta có : 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
<=>a3 + b3 ≤ a + b
<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng với mọi a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
Lời giải:
a) Ta thấy với $n$ là số nguyên dương thì $n^2$ chia $4$ có thể dư $0$ hoặc $1$
Mà \(2014\equiv 2\pmod 4\)
Do đó \(n^2+2014\equiv 2,3\pmod 4\)
Mà một số chính phương chia $4$ chỉ có thể dư $0,1$, nên $n^2+2014$ không thể là số chính phương.
b)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((a^5+b^5)(a+b)\geq (a^3+b^3)^2\)
Mà \(a^5+b^5=a^3+b^3\Rightarrow (a^5+b^5)(a+b)\geq (a^5+b^5)(a^3+b^3)\)
\(\Rightarrow a+b\geq a^3+b^3\)
\(\Leftrightarrow (a+b)[1-(a^2-ab+b^2)]\geq 0\)
\(\Rightarrow 1-(a^2-ab+b^2)\geq 0\)
\(\Rightarrow 1+ab\geq a^2+b^2\) (ta có đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=1\)
Mình chỉ biết câu 2 thoi được hong?
n2+n+1
= n2+n+\(\frac{1}{4}\)+\(\frac{3}{4}\)
= (n+\(\frac{1}{2}\))2 +\(\frac{3}{4}\)
Chứng tỏ đó không phải là số chính phương
Trả lời câu 1 thôi nha
Xét \(ab+cd=ab\left(c^2+d^2\right)+cd\left(a^2+b^2\right)\)Vì a^2+b^2=c^2+d^2=1
\(=\)\(abc^2+abd^2+a^2cd+b^2cd\)
\(=ad\left(bd+ac\right)+bc\left(bd+ac\right)\)
\(=\left(ad+bc\right)\left(bd+ac\right)=0\left(đpcm\right)\)
Theo đề bài, ta có: \(p^2+a^2=b^2\Rightarrow p^2=b^2-a^2=\left(b+a\right)\left(b-a\right)\)(1)
Vì p là số nguyên tố nên \(p^2\)có 3 ước là \(1;p;p^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra có 3 khả năng có thể xảy ra là:
Khả năng 1: \(\hept{\begin{cases}b+a=1\\b-a=p^2\end{cases}}\). Điều này không thể xảy ra vì p > 3 nên \(p^2>9\Rightarrow b-a>9>1=b+a\Rightarrow-2a>0\)vô lí vì a nguyên dương
Khả năng 2: \(\hept{\begin{cases}b+a=p\\b-a=p\end{cases}}\Rightarrow b+a=b-a\Rightarrow2a=0\Rightarrow a=0\)(Loại vì a nguyên dương, không thể bằng 0)
Khả năng 3: \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\left(3\right)\\b-a=1\left(4\right)\end{cases}}\)
Lấy (3) - (4), ta được: \(2a=p^2-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 (*) nên p không chia hết cho 3 nên \(p^2\)chia 3 dư 1\(\Rightarrow p^2-1⋮3\)
\(\Rightarrow2a⋮3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên \(a⋮3\)(**)
Từ (*) suy ra p lẻ nên \(p-1\)và \(p+1\)là hai số chẵn liên tiếp
Đặt \(p-1=2k\left(k\inℕ,k>1\right)\)thì \(p+1=2k+2\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=4k\left(k+1\right)\)
Vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)suy ra \(4k\left(k+1\right)⋮8\)
hay \(2a⋮8\Rightarrow a⋮4\)(***)
Từ (**) và (***) suy ra \(a⋮12\)do \(\left(3,4\right)=1\)(đpcm)
Vì \(2a=p^2-1\Rightarrow2\left(p+a+1\right)\) \(=2p+2a+2=2p+p^2-1+2=p^2+2p+1=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương (đpcm)
Ta có : a2 + b2 = c2
=> a2 + b2 - c2 = 0
=> a2 + b2 + 2ab - c2 = 2ab
=> (a + b)2 - c2 = 2ab
=> (a + b - c)(a + b + c) = 2ab
=> (a + b - c)/2 . (a + b + c) = ab
=> ab \(⋮\)a + b + c (đpcm)
Bạn Xyz làm sai rồi nhé !!!!!
Chỗ: \(\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(a+b+c\right)=ab\)
Đoạn này để có: \(ab⋮\left(a+b+c\right)\) thì bạn phải lập luận \(\frac{a+b-c}{2}\inℤ\) đã nhé !!!!!!
(NẾU BẠN SUY LUÔN RA \(ab⋮\left(a+b+c\right)\) LÀ SAI RỒI)
=> Cần phải chứng minh: \(a+b-c⋮2\)
Có: \(a^2+b^2=c^2\)
=> Nếu a chẵn; b chẵn thì c cũng chẵn => \(a+b-c⋮2\)
Nếu a chẵn; b lẻ thì c lẻ => b - c chẵn => \(a+b-c⋮2\)
Nếu a lẻ; b lẻ thì c chẵn => a + b chẵn => \(a+b-c⋮2\)
Nếu a lẻ; b chẵn thì c lẻ => a - c chẵn => \(a+b-c⋮2\)
VẬY QUA 4 TRƯỜNG HỢP THÌ TA => \(\frac{a+b-c}{2}\inℤ\)
Khi đó thì \(ab⋮\left(a+b+c\right)\)
TA CÓ ĐPCM !!!!!
a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014
=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)
Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn
Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4
Mà 2014 không chia hết cho 4
Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.
Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương
b) Với 2 số a, b dương:
Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1
<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)
<=> a3 + b3 ≤ a + b
<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)
<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6
<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b
<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0
<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .
Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5
Cảm ơn bạn nha ! @Phùng Khánh Linh