K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 12 2016

a) Nếu n2+2014 là số chính phương với n nguyên dương thì n2 + 2014 = k2 → k2 – n2 = 2014

=> (k – n)(k + n) = 2014 (*)

Vậy (k + n) – (k – n) = 2n là số chẵn nên k và n phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Mặt khác (k – n)(k + n) = 2014 là chẵn

Nên (k – n), (k + n) đều chia hết cho 2 hay (k – n)(k + n) chia hết cho 4

Mà 2014 không chia hết cho 4

Suy ra đẳng thức (*) không thể xảy ra.

Vậy không có số nguyên dương n nào để số n2 + 2014 là số chính phương

b) Với 2 số a, b dương:

Xét: a2 + b2 – ab ≤ 1

<=> (a + b)(a2 + b2 – ab) ≤ (a + b) (vì a + b > 0)

<=> a3 + b3 ≤ a + b

<=> (a3 + b3)(a3 + b3) ≤ (a + b)(a5 + b5) (vì a3 + b3 = a5 + b5)

<=> a6 + 2a3b3 + b6 ≤ a6 + ab5 + a5b + b6

<=> 2a3b3 ≤ ab5 + a5b

<=> ab(a4 – 2a2b2 + b4) ≥ 0

<=> ab(a2 - b2) ≥ 0 đúng ∀ a, b > 0 .

Vậy: a2 + b2 ≤ 1 + ab với a, b dương và a3 + b3 = a5 + b5

2 tháng 12 2016

Cảm ơn bạn nha ! @Phùng Khánh Linh

1 tháng 5 2020

Áp dụng BĐT cô si ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)

\(\Rightarrow BĐT\)cần \(CM\)\(3>\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c>3\)

Mà a,b,c > 0 => abc > 0

 \(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2=b^2=c^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)

1 tháng 5 2020

\(abc\ge1\)khi nào vậy bạn

12 tháng 10 2019

\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\Leftrightarrow a+\sqrt{1+a^2}=b+\sqrt{1+b^2}\)

Bình phương cả 2 vế: \(2a\sqrt{1+a^2}=2b\sqrt{1+b^2}\)

Tiếp tục bình phương: \(a^2+a^4=b^2+b^4\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2+\left(b^2-a^2\right)\left(a^2+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)\left(1-a^2-b^2\right)=0\)

Đến đây ta có: \(\orbr{\begin{cases}a=b\\a^2+b^2=1\end{cases}}\)

Nếu a=b sẽ có vô số a,b TMDK nên đề bài nên có thêm điều kiện a,b phân biệt

19 tháng 3 2019

\(a;b>0\Rightarrow a^3-b^3< a^3+b^3\)

Mà \(a^3+b^3=a-b\)

\(\Rightarrow a^3-b^3< a-b\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3-b^3}{a-b}< \frac{a-b}{a-b}\)(vì a - b = a3 + b> 0 với a;b > 0)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+b^2< 1\)

13 tháng 8 2023

giúp mình bạn ơi

 

3 tháng 1 2016

 

       a2 + b2 < 1 + ab.

<=> a2 + b2 - ab  

<=> (a+b)(a^2 - ab + b^2 ) a+b( nhân mỗi bên cho a+b)

<=> a+b3 < a+b

<=> (a+b^3)(a+b3)   ( a5 + b5) (a+b)

<=> a+2a3b+b6 <  a+a5b+ab5 +b6

<=> 2a3b< a5b+ab( bớt mỗi bên cho a+b6)

<=>  a5b+ab-  2a3b > 0

<=> ab(a4+b4-2a2b2) > 0

<=> ab(a2-b22> 0 ( đúng với mọi a,b>0)

=>dpcm

tick nha (mink ấn mỏi quá)

 

3 tháng 1 2016

khó quá mình mới học lớp 6 thui!

16 tháng 5 2020

ddd

*) Nếu a,b đều ko chia hết cho 3 ⇒a2+b2≡2(mod3)⇒a2+b2≡2(mod3)

Nên c2≡2(mod3)c2≡2(mod3) (Vô lí) 

Nên Tồn tại ab⋮3ab⋮3

*) Nếu a,b đều ko chia hết cho 4, tương tự như trên ⇒ab⋮4⇒ab⋮4

Vậy từ 2 TH trên có đpcmcdvm