Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
Côsi:
\(VT=\left(a-b\right)+\frac{b+1}{2}+\frac{b+1}{2}+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}-1\)
\(\ge4\sqrt[4]{\left(a-b\right).\frac{b+1}{2}.\frac{b+1}{2}.\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}-1=3\)
Ở đây ko yêu cầu chỉ ra dấu bằng nên ta ko cần làm điều đó.
Đề sai rồi: a,b,c > 0 thì làm sao mà có: ab + bc + ca = 0 được.
Ta có \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(a-b\right)b.\frac{1}{b\left(a-b\right)}}=3\) ( cô si cho 3 số dương)
\(2a^3+1\ge12ab-12b^2\Leftrightarrow2a^3+1-12ab+12b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)+3\left(a^2-4ab+4b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)+3\left(a-2b\right)^2\ge0\left(luondung\right)\)
Ta có:
\(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)=\left(ab-1\right)^2+\frac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\frac{3}{2}\left(a+b\right)^2+3\)\(\ge\frac{3}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2\right]\)
Suy ra \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge\frac{3}{2}\left[\left(a+b\right)^2+2\right]\left(c^2+2\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}\left(a\sqrt{2}+b\sqrt{2}+c\sqrt{2}\right)^2\) (BĐT Cauchy-Schwarz)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)\ge3\left(a+b+c\right)^2\)
Dấu "=" khi a=b=c=1
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\left(\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\left(\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
\(b\left(a-b\right)\le\dfrac{\left(b+a-b\right)^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\ge\dfrac{4}{a^2}\)
\(\Rightarrow a+\dfrac{1}{b\left(a-b\right)}\ge a+\dfrac{4}{a^2}=\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{4}{a^2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{4}{a^2}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{2}=\dfrac{4}{a^2}\\b=a-b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)