Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\) (Theo BĐT cô si;a,b dương)
\(\Leftrightarrow2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\) (Vì \(a^2+b^2=2\))
\(\Rightarrow4034ab\le4034\Rightarrow4032+4034ab\le8066\) (1)
Lại có: \(M=\dfrac{a^3}{2016a+2017b}+\dfrac{b^3}{2017a+2016b}\)
\(\Leftrightarrow M=\dfrac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\dfrac{b^4}{2017ab+2016b^2}\) (2)
Áp dụng bất đẳng thức cô si dạng engel vào (2) được:
\(M\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016a^2+2017ab+2017ab+2016b^2}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)
\(\Leftrightarrow M\ge\dfrac{2^2}{2016\cdot2+4034ab}=\dfrac{4}{4032+4034ab}\) ( vì \(a^2+b^2=2\)) (3)
Từ (1);(3)\(\Rightarrow M\ge\dfrac{4}{8066}=\dfrac{2}{4033}\)
Vậy min \(M=\dfrac{2}{4033}\) khi a=b=1
Chứng minh \(\frac{m^2}{p}+\frac{n^2}{q}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{p+q}\) với \(p,q>0\)(*) (dễ chứng minh bằng biến đổi tương đương).
Áp dụng BĐT (*) vào bài toán, ta có:
\(M=\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}\)
\(=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2017ab+2016b^2}\)
\(=\frac{\left(a^2\right)^2}{2016a^2+2017ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{2017ab+2016b^2}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)(1)
Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)nên \(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034.\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{2^2}{2016.2+4034.\frac{2}{2}}=\frac{2}{4033}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có \(M\ge\frac{2}{4033}.\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1.\)
Vậy \(M_{min}=\frac{2}{4033}\)khi \(a=b=1.\)
M=\(\left[\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{a\left(2016a+2017b\right)}{4033^2}\right]+\left[\frac{b^3}{2017a+2016b}+\frac{b\left(2017a+2016b\right)}{4033^2}\right]-\frac{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}{4033^2}\)
\(\ge\frac{2a^2}{4033}+\frac{2b^2}{4033}-\frac{2016\left(a^2+b^2\right)+4034\frac{a^2+b^2}{2}}{4033^2}=\frac{a^2+b^2}{4033}=\frac{2}{4033}\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Vì a ; b dương , áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương , ta có :
\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số , ta có :
\(M=\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2017ab+2016b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016a^2+2017ab+2017ab+2016b^2}=\frac{4}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)
\(\ge\frac{4}{2016.2+4034.1}=\frac{4}{8066}=\frac{2}{4033}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
\(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\ge\dfrac{4}{a^2+2ab+b^2}+\dfrac{1}{\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = \(\dfrac{1}{2}\)
Bài 2 :
1) \(x^2+6xy+5y^2-5y-x=x^2-x+xy+5y^2-5y+5xy\)
\(=x\left(x-1+y\right)+5y\left(y-1+x\right)=\left(x+y-1\right)\left(x+5y\right)\)
Ca ca câu này mụi lm đc òi, lm hộ mụi mấy cái khác ik
\(A+\dfrac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{4}=\left(\dfrac{a^2}{b+1}+\dfrac{1}{4}\left(b+1\right)\right)+\left(\dfrac{b^2}{c+1}+\dfrac{1}{4}\left(c+1\right)\right)+\left(\dfrac{c^2}{a+1}+\left(a+1\right)\right)\)\(A+\dfrac{3}{2}\ge a+b+c=3\Rightarrow A\ge\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
nhìn kinh vậy thôi dẽ mà @quế anh
2)
\(M=a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\) \(a\ne b\ne c\Rightarrow M\ne0\)
\(T=a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right).M\)
\(A=\dfrac{T}{M}=\dfrac{\left(a+b+c\right).M}{M}=\left(a+b+c\right)=2016\)
1)
\(P=\left(4a^2+b^2+9+4ab-12a-6b\right)+3\left(b^2-2b+1\right)\)
\(P=\left(2a+b-3\right)^2+3\left(b-1\right)^2\ge0\)
DS: Pmin=0 ; tại b=1, a=1
\(M=\dfrac{a^3}{2016a+2017b}+\dfrac{b^3}{2017a+2016b}=\dfrac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\dfrac{b^4}{2017ab+2016b^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(M\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}=\dfrac{4}{4032+4034ab}\)
AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2ab\le2\Leftrightarrow ab\le1\Leftrightarrow4034ab\le4034\)
Hay: \(M\ge\dfrac{4}{4032+4034}=\dfrac{4}{8066}=\dfrac{2}{4033}\)