Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Đặt $d=c+1$
Khi đó:
$a-b=a^2c-b^2d=a^2c-b^2(c+1)=(a^2-b^2)c-b^2$
$\Leftrightarrow b^2=(a^2-b^2)c-(a-b)=(a-b)(ac+bc-1)$
$\Rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|$
Đặt $d$ là ƯCLN của $|a-b|, |ac+bc-1|$
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} |a-b|\vdots d\\ |ac+bc-1|\vdots d\\ b^2=|(a-b)(ac+bc-1)|\vdots d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\\ b\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ a\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=\pm 1\)
Vậy $|a-b|, |ac+bc-1|$ nguyên tố cùng nhau.
Mà tích của chúng là scp nên $|a-b|$ cũng là scp (đpcm)
Lời giải:
Đặt $d=c+1$
Khi đó:
$a-b=a^2c-b^2d=a^2c-b^2(c+1)=(a^2-b^2)c-b^2$
$\Leftrightarrow b^2=(a^2-b^2)c-(a-b)=(a-b)(ac+bc-1)$
$\Rightarrow b^2=|a-b|.|ac+bc-1|$
Đặt $d$ là ƯCLN của $|a-b|, |ac+bc-1|$
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} |a-b|\vdots d\\ |ac+bc-1|\vdots d\\ b^2=|(a-b)(ac+bc-1)|\vdots d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-b\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\\ b\vdots d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ a\vdots d\\ ac+bc-1\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=\pm 1\)
Vậy $|a-b|, |ac+bc-1|$ nguyên tố cùng nhau.
Mà tích của chúng là scp nên $|a-b|$ cũng là scp (đpcm)
Yêu cầu đã được chứng minh tại link sau:
Câu hỏi của trần trác tuyền - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
sao dài thế @@ chộp bài nào làm bài nấy ha
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{7}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản, a;b thuộc Z, b khác 0
\(\frac{a}{b}=\sqrt{7}\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=7\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=7\Rightarrow a^2=7b^2\)=> a2 chia hết cho 7 (1)
=> a chia hết cho 7 => a=7k với k thuộc Z
Thay a=7k vào a2=7b2 ta được 49k2=7b2 => 7k2=b2 => b2 chia hết cho 7 => b chia hết cho 7 (2)
Từ (1) và (2) => phân số a/b chưa tối giản trái với giả thiết ban đầu
=>\(\sqrt{7}\) là số vô tỉ (đpcm)
Câu 1:
Giả sử \(\sqrt{7}\) là số hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{m}{n}\) (tối giản)
\(\Rightarrow7=\left(\frac{m}{n}\right)^2=\frac{m^2}{n^2}\) Hay \(7n^2=m^2\left(1\right)\)
Đẳng thức này chứng tỏ \(m^2⋮7\) Mà \(7\) là số nguyên tố nên \(m⋮7\)
Đặt \(m=7k\left(k\in Z\right)\) ta có: \(m^2=49k^2\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra: \(7n^2=49k^2\) nên \(n^2=7k^2\left(3\right)\)
Từ \(\left(3\right)\) ta lại có: \(n^2⋮7\) và vì \(7\) là số nguyên tố nên \(n⋮7\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m⋮7\\n⋮7\end{cases}}\) nên phân số \(\frac{m}{n}\) không tối giản, trái với giả thiết
Vậy \(\sqrt{7}\) không phải là số hữu tỉ
\(\Leftrightarrow\sqrt{7}\) là số vô tỉ (Điều phải chứng minh)
a) Nếu p=3 thì \(2^p+p^2=2^3+3^2=17\) là số nguyên tố
Nếu \(p\ge5\) thì \(2^p+p^2=\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)=\left(2^p+1\right)+\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)
Khi p là số nguyên tố , \(p\ge5\)=> p lẻ và p không chia hết cho 3; do đó: \(\left(2^p+1\right)\)chia hết cho 3 và (p-1)(p+1) chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(2^p+p^2\right)\)chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2+2^p\)không là số nguyên tố
Khi p=2, ta có : \(2^p+p^2=2^2+2^2=8\)là hợp số
Vậy duy nhất có p=3 thỏa mãn.
b) \(a+b+c+d=7\Rightarrow b+c+d=7-a\Rightarrow\left(b+c+d\right)^2=\left(7-a\right)^2\)
Mặt khác: \(\left(b+c+d\right)^2\le3\left(b^2+c^2+d^2\right)\Rightarrow\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\)
Lại có : \(\left(7-a\right)^2\le3\left(13-a^2\right)\Leftrightarrow49-14a+a^2\le39-3a^2\Leftrightarrow4a^2-14a+10\le0\)
Giải ra được : \(1\le a\le\frac{5}{2}\)
Vậy : a có thể nhận giá trị lớn nhất là \(\frac{5}{2}\), nhận giá trị nhỏ nhất là 1