L2
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
27 tháng 7 2017
Ta có:
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow2a< a+b+c=2\)
\(\Leftrightarrow a< 1\)
Tương tự ta cũng có:
\(\hept{\begin{cases}b< 1\\c< 1\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)
\(\Leftrightarrow-abc+ab+bc+ca-a-b-c+1>0\)
\(\Leftrightarrow abc< \left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(\Leftrightarrow2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2+2=4-2=2\)
HT
3
7 tháng 5 2015
Nhận xét : \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từng vế => \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
+) Lại có: a;b; c là 3 cạnh của tam giác nên a < b+ c; b < a+ c; c< a+ b
=> \(\frac{a}{b+c}<1;\frac{b}{c+a}<1;\frac{c}{b+a}<1\)
\(\frac{a}{b+c}<1\Rightarrow\frac{a}{b+c}<\frac{a+a}{b+c+a}=\frac{2a}{a+b+c}\)
tương tự, \(\frac{b}{c+a}<\frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}<\frac{2c}{a+b+c}\)
=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}<\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1)(2) => đpcm
16 tháng 9 2017
Vì a:b:c là độ dài cạnh tam giác nên \(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b-c>0\\b+c-a>0\\c+a-b>0\end{cases}}}\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}=\frac{2b}{2}=b\)(1)
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{a+b-c+c+a-b}{2}=\frac{2a}{2}=a\)(2)
\(\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}\le\frac{b+c-a+c+a-b}{2}=\frac{2c}{2}=c\)(3)
Nhân vế với vế của (1); (2);(3) lại ta được :
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)^2\left(b+c-a\right)^2\left(c+a-b\right)^2}\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)(đpcm)
BU
3
31 tháng 7 2017
\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)
\(\Leftrightarrow a^2< ab+ac\)
\(\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a< b+c\) (luôn đúng \(\forall\) a;b;c là 3 cạnh của \(\Delta\) )
Vậy \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
31 tháng 7 2017
Ta có:
\(\frac{a}{b+c}=\frac{2a}{2\left(b+c\right)}\)
Vì \(a< b+c\)(Bất đẳng thức tam giác)
nên \(a+b+c< 2\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{2a}{2\left(b+c\right)}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Hay\(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)
Cô si thôi:
\(0\le\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\frac{\left(b+c-a\right)+\left(c+a-b\right)}{2}=c\)
\(0\le\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le\frac{\left(c+a-b\right)+\left(a+b-c\right)}{2}=a\)
\(0\le\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\le\frac{\left(b+c-a\right)+\left(a+b-c\right)}{2}=b\)
\(\Rightarrow0\le\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
(Dấu "=" khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác ABC đều)