Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(vìa;b>0\Rightarrow\frac{a}{a+b}<1\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{a+b}}\ge\frac{a}{a+b}\) (ví dụ 1/4 nha căn 1/4 = 1/2 > 1/4) (1)
.............................................. \(\sqrt{\frac{b}{b+c}}>\frac{b}{b+c}\) (2)
.................................................\(\sqrt{\frac{c}{a+c}}>\frac{c}{c+a}\) (3)
Cộng vé với vế của từng bất dẳng thức => ĐPCM
Theo BĐT AM-GM ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự ta cũng có BĐT tương tự, cộng theo vế ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\left(I\right)\)
Mà \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\) .Vì \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a+b\right)>a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)>a\left(a+b\right)+ac\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)>ac\Leftrightarrow a+b>a\) (luôn đúng)
Tương tự ta có: \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{b}{b+c}\left(2\right);\frac{c+a}{a+b+c}>\frac{c}{a+c}\left(3\right)\)
Ta có: \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{a+c}< 2\left(II\right)\)
Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
cái này hình như sai đề bạn ạ. vì : a,b,c >0 => a+b , b+c, c+a >0
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>0\)
với \(A>0\) ta luôn có: \(A>\sqrt{A}\) như 2 > căn 2 chẳng hạn
=> \(\frac{a}{a+b}>\sqrt{\frac{a}{a+b}}\) hay \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\)