Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cái này hình như sai đề bạn ạ. vì : a,b,c >0 => a+b , b+c, c+a >0
=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>0\)
với \(A>0\) ta luôn có: \(A>\sqrt{A}\) như 2 > căn 2 chẳng hạn
=> \(\frac{a}{a+b}>\sqrt{\frac{a}{a+b}}\) hay \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\)
\(vìa;b>0\Rightarrow\frac{a}{a+b}<1\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{a+b}}\ge\frac{a}{a+b}\) (ví dụ 1/4 nha căn 1/4 = 1/2 > 1/4) (1)
.............................................. \(\sqrt{\frac{b}{b+c}}>\frac{b}{b+c}\) (2)
.................................................\(\sqrt{\frac{c}{a+c}}>\frac{c}{c+a}\) (3)
Cộng vé với vế của từng bất dẳng thức => ĐPCM
Theo BĐT AM-GM ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự ta cũng có BĐT tương tự, cộng theo vế ta có:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge2\left(I\right)\)
Mà \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\left(1\right)\) .Vì \(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(a+b\right)>a\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)>a\left(a+b\right)+ac\)
\(\Leftrightarrow c\left(a+b\right)>ac\Leftrightarrow a+b>a\) (luôn đúng)
Tương tự ta có: \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{b}{b+c}\left(2\right);\frac{c+a}{a+b+c}>\frac{c}{a+c}\left(3\right)\)
Ta có: \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{a+c}< 2\left(II\right)\)
Từ (I) và (II) ta thu được điều phải chứng minh
a) Áp dụng bdt cosi schwars ta có
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}\)
\(=\frac{a+b+c+d}{2}\)
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Đặt A là biểu thức cần CM
ví dụ Từ ĐK a + b + c = 3 => a² + b² + c² ≥ 3 ( Tự chứng minh )
Áp dụng BĐT quen thuộc x² + y² ≥ 2xy
a^4 + b² ≥ 2a²b (1)
b^4 + c² ≥ 2b²c (2)
c^4 + a² ≥ 2c²a (3)
Ta có:\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\)