Question

[Sắc màu]

Cho 2 đường thẳng xx' và yy' cắt nhau tại O

Trên xx' lấy A, B, C sao cho OA = AB = BC.

Trên yy' lấy E, M, N sao cho OE = OM = ON.

Cm : 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy.

Answer 1

[๖Fly༉Donutღღ]

Gọi I là tr5ung điểm của MC,CO và EI cắt nhau tại A'. Suy ra A' là trọng tâm của tam giác EMC

Ta có: \(CA'=\frac{2}{3}CO\)Mà \(CA=\frac{2}{3}CO\)

\(\Rightarrow A'\equiv A\)nên AE đi qua I

Tam giác OBN có: 

OA = OB ( gt ) và OM = MN ( gt )

\(\Rightarrow AM//BN\)

Ta giác AMC có: 

AB = BC ( gt )  và CI = IM ( gt )

\(\Rightarrow AM//BI\)

Áp dụng tiên đề Ơclit ta có \(BN\equiv BI\)

Suy ra 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy. 

Vậy 3 đường thẳng AE, BN, CM đồng quy. ( đpcm )

Answer 2

[Sakuraba Laura]

x x' y y' O E M N A B C I

BN là nét đứt nhé.

Gọi I là giao điểm của AE và CM.

ΔECM có CO là đường trung tuyến (vì O là trung điểm EM)

mà A ∈ CO, CA = 2/3 CO

=> A là trọng tâm của ΔECM

=> EI là đường trung tuyến của ΔECM

=> I là trung điểm của CM.

Xét ΔOBN có A là trung điểm OB, M là trung điểm ON

=> AM là đường trung bình của ΔOBN => AM // BN (1)

Xét ΔCAM có B là trung điểm AC, I là trung điểm CM

=> BI là đường trung bình của ΔCAM => BI // AM (2)

Từ (1)(2) => BI \(\equiv\) BN => I ∈ BN

Mà I là giao điểm CM và AE

=> BN, CM, AE đồng quy (đpcm)