Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
a1 = 1
a2 = 1 + 2 = 3
a3 = 1 + 2 + 3 = 6
a4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
......
a100 = 1 + 2 + 3 + ..... + 100 = \(\frac{100.\left(100+1\right)}{2}=50.101=5050\)
an = 1 + 2 + 3 + ..... + n = \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
ta có 20132014= a1 + a2 +…+a2013
Đặt S = a13 + a23 + ….+ a20133
S - 20132014= a13 + a23 + ….+ a20133 - (a1 + a2 +…+a2013)
= (a13 - a1) + (a13 - a1) +...+ (a13 - a1)
ta có bài toán phụ sau:
x3 - x = x(x2 - 1) = x(x-1)(x+1) (vì x2 - 1 = (x+1)(x-1))
Ta thấy x(x-1)(x+1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích đó phải chia hết
Vậy x3 - x chia hết cho 3
Từ kết luận của bài toán phụ trên mà ta suy ra được mỗi hiệu của tổng trên đều chia hết cho 3 nên tổng đó chia hết cho 3
Suy ra S và 20132014 khi chia cho 3 thì cùng có số dư như nhau
Mà 2013 chia hết cho 3 nên 20132014 chia hết cho 3
Vậy S chia hết cho 3 hay a13 + a23 + ….+ a20133 chia hết cho 3( điều phải chứng minh)
Vì a1,a2,a3,...,an nhận các giá trị 1 hoặc -1
=> a1a2;a2a3;a3a4;...;ana1 cũng nhận các giá trij1 hoặc -1
mà a1a2+a2a3+...+ana1=0
Nên n số hạng của tổng có m giá trị bằng 1 và có m giá trị bằng -1
=> n=m+m=2m (m thuộc N*) (1)
Mặt khác: a1a2a3a4...ana1 = (a1a2a3...an)^2 >0
Nên số thừa số nguyên âm là chẵn
=>m=2p (p thuộc N*) (2)
Từ (1) và (2) => n = 2.(2p) = 4p chia hết cho 4
Vậy n chia hết cho 4