Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ta có \(\left(a-b\right)^2>=0\) => \(a^2+b^2>=2ab\)
tương tự ta có \(b^2+c^2>=2bc\)
\(c^2+a^2>=2ac\)
cộng từng vế của 3 BĐt cùng chiều ta có \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)>=2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca\)
dấu = xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)
<=> a=b=c
<=> tam giác ABC là tam giác đều(ĐPCM)
Từ giả thiết suy ra
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0 (nhân bung cái này sẽ ra cái giả thiết ban đầu).
Từ đó suy ra: a=b, b=c và c=a. (Do tổng của 3 bình phương mà lại bằng 0 tức là các bình phương đó đều phải bằng 0). Suy ra tam giác đó đều
Cách của bạn phía trên sai. Bạn đang chứng minh chiều nghịch của bài toán
Ta có; \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-a\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)
Vậy...
Lời giải:
\(a^4+b^4+c^4< 2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^4+b^4+2a^2b^2)-4a^2b^2+c^4-(2b^2c^2+2c^2a^2)< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2)^2-2c^2(a^2+b^2)+c^4-4a^2b^2< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2-c^2)^2-(2ab)^2< 0\)
\(\Leftrightarrow (a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)< 0\)
\(\Leftrightarrow [(a-b)^2-c^2][(a+b)^2-c^2]< 0\)
\(\Leftrightarrow (a-b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a+b+c)< 0\)
\(\Leftrightarrow (a+c-b)(b+c-a)(a+b-c)>0\)
Từ đây ta thấy có 2 TH xảy ra
TH1: cả 3 thừa số \(a+c-b, b+c-a, a+b-c\) đều dương
\(\Rightarrow a+b>c; b+c>a; c+a>b\) nên $a,b,c$ có thể là độ dài của $3$ cạnh tam giác
TH2: Trong 3 thừa số có một thừa số dương, 2 thừa số âm. Không mất tổng quát, giả sử:
\(\left\{\begin{matrix} a+c-b>0\\ b+c-a< 0\\ a+b-c< 0\end{matrix}\right.\Rightarrow (b+c-a)+(a+b-c)< 0\)
\(\Rightarrow 2b< 0\Rightarrow b< 0\) (trái với đề bài- loại)
Vậy tồn tại tam giác có độ dài các cạnh là $a,b,c$
sai đề bài òi bạn điều đó là đúng mà