K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HT
0
HA
14 tháng 3 2020
DO a,b,c đối xứng , giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2\ge b^2\ge c^2\\\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\end{cases}}\)
áp dụng bất đẳng thức trê-bư-sép ta có
\(a^2.\frac{a}{b+c}+b^2.\frac{b}{a+c}+c^2.\frac{c}{a+b}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\)
vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{1}{2}\)dấu bằng xảy ra khi\(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
KH
1
16 tháng 12 2015
\(4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)=\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)=\left(a^2-\left(b-c\right)^2\right)\left(\left(b+c\right)^2-a^2\right)\)
\(=\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)>0\)(dpcm)
Vì a-b+c >0
a+b-c>0
b+c-a> 0
a+b+c>0
\(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow0< a,b,c< 1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab>0\\ac>0\\bc>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca>0\)
Lại có :
\(\left(a+b+c\right)^2=1^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
Mà \(ab+bc+ca>0\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ca\right)>0\)
\(\Rightarrow\left[a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\right]-2\left(ab+bc+ca\right)=1-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2\left(ab+bc+ca\right)< 1-0=1\)
Vậy ...