Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh \(IJ^2=IM^2+JN^2\)
A B C H M N I J
Ta xét tam giác MIA và HIA có:
IA chung
MA=HA (gt)
\(\widehat{MAI}=\widehat{HAI}\)( AI là phân giác góc BAH)
=> Tam giác MIA=HIA
=> MI=IH, \(\widehat{AMI}=\widehat{AHI}\)
Tương tự ta chứng minh đc tam giác AJH= AJN
=> \(JH=JN,\widehat{AHJ}=\widehat{ANJ}\)
Mà \(\widehat{AMI}+\widehat{ANJ}=90^o\)( tam giác AMN vuông)
=> \(\widehat{AHI}+\widehat{AHJ}=90^o\)
=> Tam giác IHJ vuông tại H
Áp dụng định lí Pitago ta có:
\(IJ^2=IH^2+JH^2=IM^2+JN^2\)
=> dpcm
A B C M N I 1 1 1 2
a) Vì \(\Delta ABC\)cân tại A ( GT )
\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( Tính chất tam giác cân )
Xét \(\Delta BMI\left(\widehat{BMI}=90^o\right)\)và \(\Delta CNI\left(\widehat{CNI}=90^o\right)\)có :
\(BI=CI\)( vì I là trung điểm của BC )
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( chứng minh trên )
\(\Rightarrow\Delta BMI=\Delta CNI\)( Cạnh huyền - góc nhọn )
b) VÌ \(\Delta BMI=\Delta CNI\)( chứng minh trên )
\(\Rightarrow BM=CN\)( 2 cạnh tương ứng )
Ta có : \(\hept{\begin{cases}AB=AM+MB\\AC=AN+NC\end{cases}}\)
Mà AB = AC ( vì \(\Delta ABC\)cân tại A ) ; BM = CN ( chứng minh trên )
\(\Rightarrow AM=AN\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\)cân tại A ( Điều phải chứng minh )
c) Vì \(\Delta ABC\)cân tại A nên :
\(\widehat{B_1}=\frac{180^o-M\widehat{AN}}{2}\left(1\right)\)
Vì \(\Delta AMN\)cân tại A nên :
\(\widehat{M_1}=\frac{180^o-\widehat{MAN}}{2}\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{M_1}\)
Mà \(\widehat{B_1}\)và \(\widehat{M_1}\)ở vị trí đồng vị
\(\Rightarrow MN//BC\)( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song )
d) Xét \(\Delta ABI\)và \(\Delta ACI\)có :
\(AI\): cạnh chung
\(BI=CI\)( vì I là trung điểm của BC )
\(AB=AC\)( vì \(\Delta ABC\)cân tại A )
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)( 2 góc tương ứng )
\(\widehat{BIA}=\widehat{CIA}\)( 2 góc tương ứng )
Vì \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)( chứng minh trên )
=> AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)
Vì \(\widehat{BIA}=\widehat{CIA}\)( chứng minh trên )
Mà \(\widehat{BIA}+\widehat{CIA}=90^o\)( 2 góc kề bù )
\(\Rightarrow AI\perp BC\)
e) Áp dụng định lí pi-ta-go vào \(\Delta AIN\)có:
\(IN^2+AN^2=AI^2\)
\(\Rightarrow IN^2=AI^2-AN^2\left(3\right)\)
Áp dụng định lí pi-ta-go vào \(\Delta INC\)có:
\(IN^2+NC^2=IC^2\)
\(\Rightarrow IN^2=IC^2-NC^2\left(4\right)\)
Từ (3) và ( 4)
\(\Rightarrow2IN^2=AI^2-AN^2+IC^2-NC^2\)
\(\Rightarrow2IN^2=\left(AI^2+IC^2\right)-AN^2-NC^2\left(5\right)\)
Theo chứng minh trên ta có : \(AI\perp BC\)
\(\Rightarrow\Delta AIC\)vuông tại I
Áp dụng định lí pi-ta-go vào \(\Delta AIC\)ta có:
\(AC^2=AI^2+IC^2\left(6\right)\)
Từ (5) và (6)
\(\Rightarrow2IN^2=AC^2-AN^2-NC^2\)( Điều phải chứng minh )
a, vì tam giác ABC cân tại A => góc B = góc C ( 2 góc ở đáy bằng nhau )
-tam giác ABM và tam giác ACM có :
AB=AC(gt) |
góc B= góc C ( cmt ) | => tam giác ABM=tam giác ACM(c-g-c)
BM=CM (gt) |
=> góc A1 = góc A2 ( 2 góc t/ứ )
-tam giác AEM và tam giác AIM có
góc AEM=góc AIM(=90 độ) |
cạnh AM chung |=> tam giác AEM= tam giác AIM ( ch-gn)
góc A1= góc A2(cmt ) |
=> AE=AI(2 cạnh t/ứ)
b, vì tam giác AEI cân tại A => tia phân giác góc A vuông góc với EI
đặt AM cắt EI tại O
tam giác AEO và tam giác AIO có
góc AOE = góc AOI (=90 độ) |
AE=AI(cmt) | => tam giác AEO và tam giác AIO ( ch-cgv)
AO chung |
=> EO = IO ( 2 cạnh t/ứ )
vì AO vuông góc EI và EO = IO =>AO là đg trug trực của EI
mà AM là nối dài của AO => AM là đg trug trực của EI
c, vì tam giác AEI cân tại A => góc AEI = ( 180 độ - góc A ): 2 (1)
vì tam giác ABC cân tại A => góc ABC = ( 180 độ - góc A ) : 2 (2)
từ (1) và (2) => góc AEI = góc ABC mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => EI // BC
d, vì BM=CM ( gt ) => BM = CM = 18: 2 = 9 (cm)
-AM^2 = AE^2 + BM^2
=>AM^2 = 15^2 - 9^2
=>AM^2 = 144
=>AM = 12 (cm)
a, Xét tam giác DAE và tam giác BAC có
DAE = BAC ( đối đỉnh )
AD = AB ( gt)
AE= AC ( gt)
=> tam giác DAE = tam giác BAC
=> BC= DE
b, ta có DAE = BAC = 90 độ ( 2 góc đối đỉnh )
lại có BAD = CAE đối đỉnh
=> BAD=CAE = 360 - (BaC + DAE) tất cả trên 2
<=> BAD= 360 -180 tâts cả trên 2
<=> BAD = 180 trên 2
<=> BAD = 90 độ
=> tam giác BAD vuông lại A
mà AB =AD (gt)
=> BAD vuông cân
=> DBA = BDA = 90 trên 2 = 45 độ
Chứng mình tương tự tam giác CAE vuông cân
=>AEC=ACE= 90 trên 2 = 45 độ
=> DBA=AEC=45 độ
mà chúng ở vị trí sole trong
=> BD // CE