Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^3+y^3-3xy=p-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)-3xy+1=p\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1-3xy\right]=p\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+1=p\\\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1-3xy=1\end{cases}}\)( để ý rằng x+y+1 > 1 và p là số nguyên tố )
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+1=p\\\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)=3xy\end{cases}}\)
Mà ta có đánh giá quen thuộc sau:
\(4xy\le\left(x+y\right)^2\Rightarrow3xy=\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\le\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4\left(x+y\right)\le0\Rightarrow0\le x+y\le4\)
Mặt khác \(x+y=p-1\Rightarrow p-1\le4\Leftrightarrow p\le5\)
Vậy pmax=5 tại x=y=2
a) \(2xy^2+x+y+1=x^2+2y^2+xy\)
\(\Leftrightarrow2xy^2+x+y-x^2-2y^2-xy=-1\)
\(\Leftrightarrow2xy^2-2y^2+x-x^2+y-xy=-1\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-y\left(x-1\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2y^2-x-y\right)=-1\)
Để x nguyên thì x - 1 nguyên. Vậy thì \(x-1\in\left\{-1;1\right\}\)
Với x = 1, ta có \(2y^2-1-y=-1\Rightarrow2y^2-y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Với x = -1, ta có \(2y^2+1-y=1\Rightarrow2y^2+y=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\left(n\right)\\y=\frac{-1}{2}\left(l\right)\end{cases}}\)
Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) hoặc (-1; 0).
a)
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| y | \(\sqrt{22}\)(loại | \(2\sqrt{7}\)(loại) | \(\sqrt{46}\)(loại) | 10(thoả mãn) | \(\sqrt{262}\) |
\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(4;10\right)\)
Xét \(\Delta=p^2+4ap\inℕ^∗,\forall a,p\inℕ^∗\)
Để phương trình nhận nghiệm hữu tỉ thì \(\sqrt{\Delta}\)Phải là hữu tỉ hay có thể khẳng định rằng \(\Delta\)phải là số chính phương.
Ở đây ta chú ý rằng nếu x là số nguyên tố thì mọi số chính phương chia hết cho x buộc phải chia hết cho x2
( Điều này hiển nhiên khỏi chứng minh)
Vì \(\Delta⋮p\)mà p là số nguyên tố \(\Rightarrow\Delta=p^2+4ap⋮p^2\Rightarrow4a⋮p\)
---> Đặt \(4a=kp,k\inℕ^∗\)---> Thế vào \(\Delta\)
\(\Rightarrow\Delta=p^2+kp^2=p^2\left(1+k\right)\)là số chính phương khi và chỉ khi (1+k) là số chính phương
---> Đặt \(1+k=n^2\Rightarrow k=n^2-1,n\inℕ^∗\)---> Thế vào a
\(\Rightarrow a=\frac{\left(n^2-1\right)p}{4}\)
Thử lại: \(\Delta=p^2+4ap=p^2+\left(n^2-1\right)p^2=p^2.n^2=\left(pn\right)^2\)---> Là số chính phương
Kết luận: bla bla bla bla...... :)))
Theo đề: \(p=x^3+y^3-3xy+1=\left(x+y\right)^3+1-3xy\left(x+y\right)-3xy\)
\(=\left(x+y+1\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)+1\right]-3xy\left(x+y+1\right)\)
\(=\left(x+y+1\right)\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)
Vậy \(\left(x+y+1\right)\)và \(\left(x^2+y^2-x-y-xy+1\right)\)là các ước của p, mà p là số nguyên tố nên 1 trong 2 ước trên phải bằng 1 và ước còn lại bằng chính p
+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=1\Leftrightarrow x=-y\\x^2+y^2-x-y-xy+1=p\end{cases}}\)---> Loại, vì x,y nguyên dương nên x không thể bằng -y.
+) \(\hept{\begin{cases}x+y+1=p\Leftrightarrow x+y=p-1\\x^2+y^2-x-y-xy+1=1\end{cases}}\)---> Xét vế dưới:
\(x^2+y^2-x-y-xy=0\)---> Áp dụng 1 số BĐT đơn giản:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)và \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Rightarrow-xy\ge-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Suy ra: \(x^2+y^2-x-y-xy\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}-\left(x+y\right)-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow0\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)\Leftrightarrow0\le x+y\le4\Rightarrow0\le p-1\le4\Leftrightarrow1\le p\le5\)
Vậy số nguyên tố p lớn nhất thỏa mãn đề bài là p = 5
Khi đó x = y = 2.