Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
$y'=\frac{-1}{(x+1)^2}$
Giao điểm của đồ thị $y=\frac{x+2}{x+1}$ vớ trục hoành là $(-2,0)$
PTTT của $y=\frac{x+2}{x+1}$ tại điểm tiếp điểm $(-2,0)$ là:
$y=f'(-2)(x+2)+f(-2)=\frac{-1}{(-2+1)^2}(x+2)+0$
$y=-x-2$
Đường tiếp tuyến $y=-x-2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ:
$y=-0-2=-2$
\(y'=x^2-2x+2\)
Gọi tiếp tuyến d tại \(M\left(a;b\right)\) có phương trình:
\(y=\left(a^2-2a+2\right)\left(x-a\right)+\frac{1}{3}a^3-a^2+2a+1\)
Giao của d với Ox và Oy lần lượt là \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(\frac{2a^3-3a^2-3}{3\left(a^2-2a+2\right)};0\right)\\B\left(0;\frac{2a^3-3a^2-3}{-3}\right)\end{matrix}\right.\)
\(OA^2=OB^2\Leftrightarrow\frac{\left(2a^3-3a^2-3\right)^2}{9\left(a^2-2a+2\right)^2}=\frac{\left(2a^2-3a^2-3\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+2\right)^2=1\) \(\Leftrightarrow a^2-2a+1=0\Rightarrow a=1\)
Phương trình tiếp tuyến: \(y=x+\frac{4}{3}\)
Pt hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (C) với đường thẳng d là:
\(\dfrac{x-1}{x+1}=m-x\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\g\left(x\right)=x^2+\left(2-m\right)x-m-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Đồ thị (C) cắt đường thẳng d tại 2 điểm phân biệt <=> pt(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta>0\\g\left(-1\right)\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+8>0\\-2\ne0\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(x_A,x_B\) là nghiệm của pt (1). Vì tiếp tuyến tại A và B //
\(\Rightarrow f'\left(x_A\right)=f'\left(x_B\right)\Leftrightarrow\dfrac{2}{\left(x_A+1\right)^2}=\dfrac{2}{\left(x_B+1\right)^2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_A=x_B\left(loai\right)\\x_A+x_B=-2\end{matrix}\right.\)
Theo định lí Viet ta có:
\(x_A+x_B=m-2\Rightarrow m-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
\(y'=1-\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}\)
Tiếp tuyến d tại \(A\left(a;a+1+\dfrac{1}{a-1}\right)\) có dạng:
\(y=\left(1-\dfrac{1}{\left(a-1\right)^2}\right)\left(x-a\right)+a+1+\dfrac{1}{a-1}\)
\(\Leftrightarrow y=\dfrac{a^2-2a}{\left(a-1\right)^2}x+\dfrac{a^2}{\left(a-1\right)^2}\)
\(\Rightarrow M\left(\dfrac{a^2}{2a-a^2};0\right)\) ; \(N\left(0;\dfrac{a^2}{\left(a-1\right)^2}\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OM=\dfrac{a^2}{\left|2a-a^2\right|}\\ON=\dfrac{a^2}{\left(a-1\right)^2}\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{a^2}{\left(a-1\right)^2}=\dfrac{2a^2}{\left|2a-a^2\right|}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(loại\right)\\\left|a^2-2a\right|=2\left(a^2-2a+1\right)\end{matrix}\right.\)
Đặt \(a^2-2a=t\Rightarrow\left|t\right|=2\left(t+1\right)\) (với \(t\ge-1\))
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2t+2=t\\2t+2=-t\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-2\left(loại\right)\\t=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a^2-2a=-\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow a^2-2a+\dfrac{2}{3}=0\)
Người ra đề đam mê với nghiệm xấu thì phải