TT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
7 tháng 8 2019
Đặt \(2^a=x;2^b=y;2^c=z\left(x,y,z>0\right)\)
=>\(xyz=2^{a+b+c}=1\)
Khi đó ĐPCM trở thành
\(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
Cosi \(x^3+1+1\ge3x;y^3+1+1\ge3y;z^3+1+1\ge3z\)
=> \(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\)
Mà \(\)\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\)
=> \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1=> \(a=b=c=0\)
7 tháng 8 2019
Trần Phúc Khang hình như chỗ \(x+y+z\ge3\)\(\Rightarrow\)\(x^3+y^3+z^3+6\ge3\left(x+y+z\right)\) ngược dấu đó anh
Cần chứng minh: \(x^3+y^3+z^3\ge x+y+z\)
\(x^3+y^3+z^3\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^4}{9}}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\)
Mà \(x+y+z=2^a+2^b+2^c\ge3\sqrt[3]{2^{a+b+c}}=3\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y+z\right)^2\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le\frac{\left(x+y+z\right)^3}{9}\le x^3+y^3+z^3\) đpcm
sai thì mn góp ý ạ
5 tháng 7 2018
Đặt x = a - b ; y = b - c ; z = c - a thì x + y + z = a - b + b - c + c - a = 0
Ta có : \(\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}}\)
\(=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y})^2-2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\)
\(=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2-2\frac{x+y+z}{xyz}\)
\(=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2=(\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a})^2(đpcm)\)
Chúc bạn học tốt
30 tháng 5 2021
Ta có \(3a+1\ge\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\right)^2\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0\) (luôn đúng)
Do đó \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}a+1\).
Tương tự, \(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}b+1;\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{\sqrt{10}-1}{3}c+1\).
Do đó \(\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1}\ge\sqrt{10}+2\).
Dấu "=" xảy ra khi chẳng hạn a = 3; b = c = 0
30 tháng 5 2021
Tham khảo:
https://hoc24.vn/hoi-dap/tim-kiem?id=219071991005&q=Cho%203%20s%E1%BB%91%20th%E1%BB%B1c%20kh%C3%B4ng%20%C3%A2m%20a%2Cb%2Cc%20v%C3%A0%20a%20b%20c%3D3%20T%C3%ACm%20GTLN%20v%C3%A0%20GTNN%20c%E1%BB%A7a%20bi%E1%BB%83u%20th%E1%BB%A9c%20K%3D%5C%28%5Csqrt%7B3a%201%7D%20%5Csqrt%7B3b%201%7D%20%5Csqrt%7B3c%201%7D%5C%29
XO
7 tháng 6 2021
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
<=> \(\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)
<=> \(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
<=> \(\left(a+b+b+c+c+a\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
<=> \(\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+1+\frac{b+c}{c+a}+\frac{b+c}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}+1+\frac{c+a}{a+b}\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\right)+\left(\frac{a+b}{c+a}+\frac{c+a}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{b+c}\right)\ge6\)(đúng)
=> ĐPCM
7 tháng 6 2021
Mình làm cách đơn giản nhất nhá :))
Ta có:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9\left(a+b+c\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\left(Cauchy-Schwarz\right)\)
Hay \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3\ge\frac{9}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Dùng phép biến dổi tương đương
a<\(\frac{a+b}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(a-\frac{a+b}{2}<0\Leftrightarrow\frac{2a-a-b}{2}<0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{2}<0\)là đúng vì a<b nên a-b<0
BĐT được chứng minh
Vế còn lại tương tự