TT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 9 2024
Lời giải:
$A=n^4+3n^3+3n^2=n^2(n^2+3n+3)$
Để $A$ là scp thì $n^2+3n+3$ là scp.
Đặt $n^2+3n+3=x^2$ với $x$ tự nhiên.
$\Rightarrow 4n^2+12n+12=4x^2$
$\Rightarrow (2n+3)^2+3=4x^2$
$\Rightarrow 3=(2x)^2-(2n+3)^2=(2x-2n-3)(2x+2n+3)$
Đến đây là dạng PT tích cơ bản rồi. Bạn có thể tự xét TH để giải.
NT
1
11 tháng 3 2015
Không trả lời thì thôi !!! Đừng có mà trả lời lung tung
27 tháng 5 2022
Do \(2n+1\) và \(3n+1\) là các số chính phương dương nên tồn tại các số nguyên dương a,b sao cho \(2n+1\)\(=a^2\) và \(3n+1=b^2\). Khi đó ta có:
\(2n+9=25.\left(2n+1\right)-16.\left(3n+1\right)=25a^2-16b^2=\left(5a-4b\right).\left(5a+4b\right)\)
Do \(2n+9\) là nguyên tố,\(5a+4b>1\) và \(5a+4b>5a-4b\) nên ta phải có \(5a-4b=1\), tức là: \(b=\dfrac{5a-1}{4}\)
\(\Rightarrow\) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+1=a^2\left(1\right)\\3n+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ (1) : \(2n+1=a^2\Rightarrow n=\dfrac{a^2-1}{2}\) và a > 1 ( do n>0)
Thay vào (2): \(\dfrac{3.\left(a^2-1\right)}{2}+1=\dfrac{\left(5a-1\right)^2}{16}\) => (a - 1).(a - 9) = 0
=> a = 9. Từ đó ta có n = 40
Vậy duy nhất một giá trị n thỏa mãn yêu cầu đề bài là : n = 40
22 tháng 5
Đặt 2n+1=k\(^{^{}2}\) , 3n+1=p\(^{^{}2}\)
Từ cách đặt trên chuyển về pt: x\(^{^{}2}\) - 6y\(^{^{}2}\) = 3 (1) với x=3k, y=p
Xét pt Pell (I): x\(^{^{}2}\) - 6y\(^{^{}2}\) = 1. Nghiệm nhỏ nhất: (a,b) = (5,2)
Gọi (x',y') là nghiệm nhỏ nhất của pt (1)
Ta có y'\(^{^{}2}\) \(\le\) max { nb\(^{^{}2}\), \(\frac{-na^2}{d}\) } = max {12, -12,5} = 12 (n=3, d=6)
-> y' \(\le\) 3 (do y' nguyên dương) -> y' \(\in\) {1,2,3}
Thử trực tiếp, dễ thấy (x',y') = (3,1) thoả mãn
-> Pt (1) có dãy nghiệm:
\(x_0\) = 3, \(y_0\) = 1, \(x_{m+1}\) = 5\(x_{m}\) + 12\(y_{m}\) , \(y_{m+1}\) = 2\(x_{m}\) + 5\(y_{m}\)
-> \(k_0\) =1, \(p_0\) =1, \(k_{m+1}\) = 5\(k_{m}\) + 4\(p_{m}\) , \(p_{m+1}\) = 6\(k_{m}\) + 5\(p_{m}\)
Biến đổi, ta chuyển dãy về thành dãy (\(t_{m}\) ) được xác định qua công thức truy hồi sau:
\(t_1\) = 40, \(t_{m+1}\) = 49\(t_{m}\) + 20 + 20\(\sqrt{6t_{m^{}}^2+5t_{m}+1}\) (m nguyên dương)
Khi đó (\(t_{m}\)) vét hết tất cả các giá trị của n để 2n+1 và 3n+1 là số chính phương
=> Với mỗi m bất kì, ta tìm được một giá trị n thoả mãn.
IL
2
DL
1 tháng 7 2018
Mình ra rồi nhé bạn,chờ xíu mình C/M cho. Đang bấm giữa chừng thì tự nhiên lỡ tay bấm nút thoát :|
DL
1 tháng 7 2018
\(2n+1=a^2\)
Xét a chẵn : \(a^2=\left(2k\right)^2=4k^2\)
\(2n+1=4k^2\Rightarrow2n=4k^2-1\)mà \(4k^2-1\)là số lẻ nên không tồn tại 2n lẻ
Xét a lẻ : \(a^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\)
\(\Rightarrow2n=4k^2+4k=k\left(4k+4\right)=4\left(k^2+k\right)\)là số chẵn
\(\Rightarrow\)n là số chẵn
Vì n là số chẵn nên 3a+1 là số lẻ
\(\Rightarrow3n+1=\left(2p+1\right)^2\)
\(\Rightarrow2n+1+3n+1+1=\left(2k+1\right)^2+\left(2p+1\right)^2+1=5n+3\)
Xét \(2n+1< 3n+1\Leftrightarrow\left(2k+1\right)^2< \left(2p+1\right)^2\)
Vì cả \(2n+1\)và \(3n+1\)đều là số lẻ nên....(Bí)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 9 2023
Lời giải:
Đặt tổng trên là $A$.
Với $n=1$ thì $2^n+3^n+4^n=9$ là scp (thỏa mãn)
Xét $n\geq 2$. Khi đó:
$2^n\equiv 0\pmod 4; 4^n\equiv 0\pmod 4$
$\Rightarrow A=2^n+3^n+4^n\equiv 3^n\equiv (-1)^n\pmod 4$
Vì 1 scp khi chia 4 chỉ có thể có dư là $0$ hoặc $1$ nên $n$ phải là số chẵn.
Đặt $n=2k$ với $k$ nguyên dương.
Khi đó: $A=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\equiv (-1)^{2k}+0+1^{2k}\equiv 2\pmod 3$
Một scp khi chia 3 chỉ có thể có dư là 0 hoặc 1 nên việc chia 3 dư 2 như trên là vô lý
Vậy TH $n\geq 2$ không thỏa mãn. Tức là chỉ có 1 giá trị $n=1$ thỏa mãn.