Question

[Nguyễn Vũ Bảo Ngọc]

Một người AB cao 1,7m, mắt tại O cách đinh dầu 10cm, đúng cách tưởng 0,69m. Trên tưởng có treo một gương phẳng đặt thẳng đứng trùng với phương MN 

a. Vẽ hình và tính chiều cao tối thiểu của gương để người ấy thấy hết ảnh của mình trong gương (không nêu cách vẽ).

b. Tỉnh khoảng cách tử mép dưới của gương đến sân nhà.

c. Nếu mép dưới của gương cách sàn nhà 1,2m thì người này chỉ thấy được phần DC trên cơ thể của mình. Tính khoảng cách từ điểm C đến sàn nhà.

d. Để thấy được ảnh của chân mình khi mép dưới của gương cách mặt đất 1.2m thì gương phải nghiêng với tưởng một góc nhỏ nhất là bao nhiêu?
 

Answer 1

[SU Đặng]

a. Gọi H là giao điểm của tia phản xạ OH với gương. Khi đó, OH là tia phản xạ của tia AB. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OH = AB = 1,7m và ·OAH = ·OHB. Do đó, tam giác OAH vuông cân tại H và AH = 0,85m. Gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của MN. Khi đó, IK vuông góc với MN và IK = 0,85m. Do đó, chiều cao tối thiểu của gương là MN = 2.IK = 1,7m.

b. Gọi E là giao điểm của tia phản xạ OE với gương. Khi đó, OE là tia phản xạ của tia AC. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OE = AC = 0,69m và ·OAE = ·OEC. Do đó, tam giác OAE vuông cân tại E và AE = 0,345m. Gọi J là trung điểm của AE, L là trung điểm của MN. Khi đó, JL vuông góc với MN và JL = 0,345m. Do đó, khoảng cách từ mép dưới của gương đến sàn nhà là ML = LK - JL = 0,85 - 0,345 = 0,505m.

c. Gọi F là giao điểm của tia phản xạ OF với gương. Khi đó, OF là tia phản xạ của tia AD. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OF = AD = 1,7m và ·OAD = ·OFD. Do đó, tam giác OAD vuông cân tại F và AF = 0,85m. Gọi G là trung điểm của AF, N là trung điểm của MN. Khi đó, GN vuông góc với MN và GN = 0,85m. Do đó, khoảng cách từ điểm C đến sàn nhà là CN + NL + LM = CD + DL + LM = (MN - MD) + (MK - GN) + ML = (1,7 - 0,85) + (0,85 - 0,85) + 0,505 = 1,355m.

d. Gọi S là mép dưới của gương và T là mép trên của gương khi nghiêng với tường một góc α nhỏ nhất sao cho người thấy được chân mình trong gương. Khi đó:

• Tia SA phản xạ thành tia AT sao cho ·SAT = α.
• Tia SB phản xạ thành tia BT sao cho ·SBT = α.
• Tia SC phản xạ thành tia CT sao cho ·SCT = α.
• Tia SD phản xạ thành tia DT sao cho ·SDT = α.

Theo quy tắc Descartes cho gương phẳng nghiêng:

• sin(·OAS) / sin(·OAT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·OBS) / sin(·OBT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·OCS) / sin(·OCT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·ODS) / sin(·ODT) = sin(α) / sin(90° - α)

Do đó:

OAS = ·OAT = α

       OBS = ·OBT = α

      ·OCS = ·OCT = α

·ODS = ·ODT = α

Từ đó suy ra:

• OS = OA.sin(α) = 0,69.sin(α)
• OT = OA.sin(90° - α) = 0,69.cos(α)
• ST = OA.sin(90°) = 0,69
• BS = AB.sin(α) = 1,7.sin(α)
• BT = AB.sin(90° - α) = 1,7.cos(α)

Để người thấy được chân mình trong gương thì điều kiện cần và đủ là:

• BS + ST ≥ AB
• BT + ST ≥ AC

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:

• 1,7.sin(α) + 0,69 ≥ 1,7
• 1,7.cos(α) + 0,69 ≥ 0,69

Giải hệ bất đẳng thức trên, ta được:

• sin(α) ≥ 0,6
• cos(α) ≥ 0

Do đó:

• α ≥ arcsin(0.6)
• α ≥ 0

Vậy góc nghiêng nhỏ nhất của gương là α = arcsin(0.6) ≈ 36.87°.