K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 3 2016

Yêu cầu bài toán tương đương với 

\(\frac{\overrightarrow{GA}}{\overrightarrow{GA'}}+\frac{\overrightarrow{GB}}{\overrightarrow{GB'}}+\frac{\overrightarrow{GC}}{\overrightarrow{GC'}}=0\) (1)

Gọi \(X_1\)  là điểm trên đường thẳng AB sao cho \(XX_1\) // \(\Delta\) (tức là  \(X_1\)  là hình chiếu song song của điểm X trên đường thẳng AB theo phương chiếu  \(\Delta\) .

 Khi đó \(A_1\equiv A,B_1\equiv B,A'_1\equiv B'_1\equiv C'_1,\)

Theo định lí Ta-lét ta có :

\(\frac{\overrightarrow{GA}}{\overrightarrow{GA'}}=\frac{\overrightarrow{G_1A}}{\overrightarrow{G_1A_1'}};\frac{\overrightarrow{GB}}{\overrightarrow{GB'}}=\frac{\overrightarrow{G_1B}}{\overrightarrow{G_1B_1'}};\frac{\overrightarrow{GC}}{\overrightarrow{GC'}}=\frac{\overrightarrow{G_1C_1}}{\overrightarrow{G_1C_1'}};\)

Suy ra 

\(\frac{\overrightarrow{GA}}{\overrightarrow{GA'}}+\frac{\overrightarrow{GB}}{\overrightarrow{GB'}}+\frac{\overrightarrow{GC}}{\overrightarrow{GC'}}=\frac{\overrightarrow{G_1A}+\overrightarrow{G_1B}+\overrightarrow{G_1C_1}}{\overrightarrow{G_1A'_1}}=0\)(2)

Lại do \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) nên \(\overrightarrow{G_1A}+\overrightarrow{G_1B}+\overrightarrow{G_1C_1}=0\)

Vậy \(\overrightarrow{G_1A}+\overrightarrow{G_1B}+\overrightarrow{G_1C_1}=0\)

Từ (1) và (2) suy ra được điều cần chứng minh

22 tháng 3 2016

A B' C' C G C1 B G1 A'1 A'

19 tháng 3 2016

Từ giả thiết suy ra với mọi O đều có ?

\(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\)  và  \(\overrightarrow{OG_1}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}_1+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\)

Mà :

\(\overrightarrow{OG_2=}\frac{1}{3}.\left(\overrightarrow{OGa}+\overrightarrow{OG_b}+\overrightarrow{OG_c}\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC_1}+\overrightarrow{OA_1}\right)+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}\right)\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{OB_1}+\overrightarrow{OC}_1\right)\right)\)

        \(=\frac{1}{3}\overrightarrow{OG}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OG_1}\)

Suy ra :

\(3\overrightarrow{OG_2}=\overrightarrow{OG}+2\overrightarrow{OG_1}\)  với mọi O. Điều này có nghĩa là \(G,G_1,G_2\) thẳng hàng => Điều phải chứng minh

24 tháng 4 2019

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

Ta có:

Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11

(Vì G là trọng tâm của tam giác ABCD nên Giải sách bài tập Toán 11 | Giải sbt Toán 11)

31 tháng 5 2017

Giải bài tập Đại số 11 | Để học tốt Toán 11

Gọi N là trung điểm CD.

+ GA là trọng tâm ΔBCD

⇒ GA ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ AGA ⊂ (ANB)

GB là trọng tâm ΔACD

⇒ GB ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ BGB ⊂ (ANB).

Trong (ANB): AGA không song song với BGB

⇒ AGA cắt BGB tại O

+ Chứng minh tương tự: BGB cắt CGC; CGC cắt AGA.

+ CGC không nằm trong (ANB) ⇒ AGA; BGB; CGC không đồng phẳng(áp dụng kết quả bài 3).

⇒ AGA; BGB; CGC đồng quy tại O

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: AGA; BGB; DGD đồng quy tại O

 

Vậy AGA; BGB ; CGC; DGD đồng quy tại O (đpcm).

26 tháng 5 2017

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

Vectơ trong không gian, Quan hệ vuông góc

19 tháng 1 2019

Đáp án C.

+ Gọi  G 0  là trọng tâm tam giác BCD=> G B ⇀   +   G C ⇀   +   G D ⇀   =   3 G G 0 ⇀

=> G A ⇀   +   G B ⇀   +   G C ⇀   +   G D ⇀   =   0 ⇀

=> A, G,  G 0 thẳng hàng  ⇒ G 0   =   G A

+ Có A, G,  G A thẳng hàng mà 

22 tháng 9 2023

Tham khảo:

a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD

Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)

Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD

Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)

Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)

b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG

Ta có: HK // AB

          AB // MN

Suy ra MN // HK

Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)

Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)

Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD

Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra: QM // AD

Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA

Nên D, G, Q thẳng hàng

Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)

Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)

Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)

Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)

Suy ra điều cần chứng minh.

NV
17 tháng 4 2022

\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}\)

\(=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)\)

\(=2\overrightarrow{MN}\)

\(\Rightarrow\) A đúng nên D sai