Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét \(5P-\left(12x+10y+15z\right)=5x^2-32x+5y^2-30y+5z^2-20z.\)
\(=5x\left(x-6,4\right)+5y\left(y-6\right)+5z\left(z-4\right).\)(1)
Mà \(x,y,z\ge0\)nên từ \(12x+10y+15z\le60\)suy ra \(\hept{\begin{cases}12x\le60\\10y\le60\\15z\le60\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le5\\y\le6\\z\le4\end{cases}\Rightarrow}}\hept{\begin{cases}x-6,4< 0\\y-6\le0\\z-4\le0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\left(x-6,4\right)\le0\\y\left(y-6\right)\le0\\z\left(z-4\right)\le0\end{cases}.}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(5P-\left(12x+10y+15z\right)\le0\)
\(\Rightarrow P\le\frac{12x+10y+15z}{5}\le\frac{60}{5}=12.\)
Vậy GTLN của P=12, Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x\left(x-6,4\right)=y\left(y-6\right)=z\left(z-4\right)=0\\12x+10y+15z=60\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=0;z=4\\x=z=0;y=6\end{cases}.}}\)
Ta có \(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{2x}\le\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\)
\(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)\le6\sqrt{2}\)
Ta lại có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le\sqrt{3\left(x+y+z\right)}\le3\)
Theo đề bài ta có
\(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}+3\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
\(\le6\sqrt{2}+\left(3-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\le3\sqrt{2}+9\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 1:
a) Bạn xem lại đề bài hộ mình.
b) Thực hiện biến đổi tương đương:
\((x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)\leq 3(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\leq 2(x^2+y^2+z^2)\)
\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)
BĐT trên luôn đúng do \(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2\geq 0\\ (y-z)^2\geq 0\\ (z-x)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)
Do đó ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
Bài 2:
\(A=\sqrt{4x+2\sqrt{x}+1}+\sqrt{4y+2\sqrt{y}+1}+\sqrt{4z+2\sqrt{z}+1}\)
\(\Rightarrow 2A=\sqrt{16x+8\sqrt{x}+4}+\sqrt{16y+8\sqrt{y}+4}+\sqrt{16z+8\sqrt{z}+4}\)
\(=\sqrt{18x-2(\sqrt{x}-2)^2+12}+\sqrt{18y-2(\sqrt{y}-2)^2+12}+\sqrt{18z-2(\sqrt{z}-1)^2+12}\)
\(\Rightarrow 2A\leq \sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12}(1)\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((\sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12})^2\leq [(18x+12)+(18y+12)+(18z+1)](1+1+1)\)
\(=3[18(x+y+z)+36]=756\)
\(\Rightarrow \sqrt{18x+12}+\sqrt{18y+12}+\sqrt{18z+12}\leq \sqrt{756}=6\sqrt{21}(2)\)
Từ \((1); (2)\Rightarrow 2A\leq 6\sqrt{21}\Rightarrow A\leq 3\sqrt{21}\)
Vậy \(A_{\max}=3\sqrt{21}\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=4\)
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{yz}}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
CỘng theo vế 3 BĐT trên có:
\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
Khi x=y=z
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(..........................\)
\(\frac{1}{\sqrt{99}}>\frac{1}{\sqrt{100}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Cộng theo vế ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{10}=\frac{100}{10}=10\)