Question

[Hải Vân]

mọi người giúp mk với ạ

Answer 1

[Aeri]

Vì \(12n^2+1\)là số lẻ với mọi \(n\)nên để \(\sqrt{12n^2+1}\)là số nguyên thì :

  \(12n^2+1=\left(2m+1\right)^2,m\in N\)

\(\Leftrightarrow12n^2+1=4m^2+4m+1\)

\(\Leftrightarrow m\left(m+1\right)=3n^2\)

Vì \(\left(m,m+1\right)=1\)nên xảy ra hai trường hợp : 

\(\orbr{\begin{cases}m=3u^2,m+1=v^2\\m=v^2,m+1=3u^2\end{cases}u,v\inℕ^∗}\)

+) Nếu : \(\hept{\begin{cases}m=v^2\\m+1=3u^2\end{cases}}\)thì \(v^2=3u^2-1\)hay \(v^2\)là số hính phương chia 3 dư 2

Điều này không xảy ra vì mọi số chính phương chia 3 dư là 0 hoặc 1.

⇒ Do đó chỉ xảy ra : \(\hept{\begin{cases}m=3u^2\\m+1=v^2\end{cases}}\)

Ta có : \(2\sqrt{12n^2+1}+2=2\left(2m+1\right)=4v^2=\left(2v\right)^2\)là số chính phương 

                     Ps : Nhớ k cho tui nha, để có j lần sau tui giải hộ cho :33

                                                                                                                                                         # Aeri #