Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\begin{cases} x+my=m+1 \\ mx+y-3m-1 \end{cases}\) (1)
a) Giải HPT khi m = 1
Thay m=1 vào hệ phương trình (1) , ta có :
\(\begin{cases} x+my=m+1 \\ mx+y-3m-1 \end{cases}\)<=> \(\begin{cases} x+y=1+1 \\ x+y-3=1 \end{cases}\) <=> \(\begin{cases} x+y=2 \\ x+y=4 \end{cases}\) <=> \(\begin{cases} 0x=-2 \\ x+y=2 \end{cases}\) => phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1\\ x+(m-1)y=2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=m+1\\ x(m+1)+(m^2-1)y=2(m+1)\end{matrix}\right.\)
Lấy PT(2)- PT(1):
\(\Rightarrow m^2y=m+1\)
Hiển nhiên \(m\neq 0\Rightarrow y=\frac{m+1}{m^2}\)
Thay vào \(x+(m-1)y=2\) suy ra \(x=1+\frac{1}{m^2}\)
Do đó hpt luôn có nghiệm duy nhất \((x,y)=\left(1+\frac{1}{m^2}, \frac{m+1}{m^2}\right)\) với mọi $m\neq 0$
Khi đó:
\(x+y=1+\frac{2}{m^2}+\frac{1}{m}=\left(\frac{\sqrt{2}}{m}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2+\frac{7}{8}\geq \frac{7}{8}\)
Để đạt được min \(=\frac{7}{8}\) thì \(\frac{\sqrt{2}}{m}+\frac{1}{2\sqrt{2}}=0\Leftrightarrow m=-4\)
x=(2m+3)/(m^2+1)
y=(3m-2)/(m^2+1)
y=x-1<=> (3m-2)/(m^2+1)=(2m+3-m^2-1)/(m^2+1)
<=>m^2+m-4=0=>\(\left[\begin{matrix}m=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\\m=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)
Lời giải:
Khi \(m=-\sqrt{2}\). HPT tương đương:
\(\left\{\begin{matrix} (-\sqrt{2}+1)x-y=3\\ -\sqrt{2}x+y=-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế: \(\Rightarrow (1-2\sqrt{2})x=3-\sqrt{2}\Rightarrow x=\frac{3-\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{1-5\sqrt{2}}{7}\)
\(\Rightarrow y=(m+1)x-3=\frac{(-\sqrt{2}+1)(1-5\sqrt{2})}{7}-3=-\frac{10+6\sqrt{2}}{7}\)
b)
\(\left\{\begin{matrix} (m+1)x-y=3\\ mx+y=m\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=(m+1)x-3\\ mx+y=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow mx+[(m+1)x-3]=m\)
\(\Leftrightarrow x(2m+1)=m+3\)
Để hệ có bộ nghiệm duy nhất thì $x$ là duy nhất.
Với \(m=-\frac{1}{2}\Rightarrow x.0=\frac{5}{2}\) (vô lý, pt vô nghiệm)
Với \(m\neq -\frac{1}{2}\), pt có nghiệm duy nhất \(x=\frac{m+3}{2m+1}\)
\(\Rightarrow y=(m+1)x-3=\frac{m^2-2m}{2m+1}\)
Do đó: \(x+y=\frac{m^2-m+3}{2m+1}\)
Để \(x+y>0\Leftrightarrow \frac{m^2-m+3}{2m+1}>0\Leftrightarrow \frac{(m-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}}{2m+1}>0\)
\(\Leftrightarrow 2m+1>0\Leftrightarrow m> \frac{-1}{2}\)
Vậy đk là \(m> \frac{-1}{2}\)
$\begin{cases}x+my=m+1\\y+mx=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y+m(m+1-my)=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y-my^2+m^2+m=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y(m^2-1)=m^2-2m+1\\\end{cases}$
Để HPT có nghiệm duy nhất thì $m^2-1 \neq 0\\\Leftrightarrow m \ne \pm1$
$\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{(m-1)^2}{(m-1)(m+1)}=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-my=\dfrac{(m+1)^2-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\\\end{cases}$
$\Rightarrow xy=\dfrac{(3m+1)(m-1)}{(m+1)^2}$
$=\dfrac{3m^2-2m-1}{(m+1)^2}$
Xét $xy+1$
$=\dfrac{3m^2-2m-1+m^2+2m+1}{(m+1)^2}$
$=\dfrac{4m^2}{(m+1)^2} \ge 0$
$\Rightarrow xy \ge -1$
Dấu "=" xảy ra khi $m=0$
Vậy m=0 thì HPT có nghiệm duy nhất và $min_{xy}=-1$