Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(A=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right).....\left(1-\frac{1}{2016}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}.....\frac{2015}{2016}\)
\(A=\frac{2.3.4.....2015}{2.3.4.....2015}.\frac{1}{2016}\)
\(A=\frac{1}{2016}\)
Vậy \(A=\frac{1}{2016}\)
Chúc bạn học tốt ~
\(\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)..\left(1-\frac{1}{2016}\right)\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{2015}{2016}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1.2.3..2015}{2.3.4..2016}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{2016}\)
\(A=\left(-\frac{1}{2}\right).\left(-\frac{2}{3}\right).\left(-\frac{3}{4}\right)......\left(-\frac{2013}{2014}\right)=\left(-\frac{1}{2014}\right)\) (Do các thừa số đều âm và A có (2014-2)+1=2013 thừa số nên A mang giá trị âm)
\(B=-\frac{1}{2015}\)
=> A<B (|A|>|B|)
Câu A mình làm được nhưng dài quá
B=\(\left(1+\frac{1}{2}\right).\left(1+\frac{1}{3}\right).............\left(1+\frac{1}{2015}\right)\)
=\(\frac{3}{2}.\frac{4}{3}..............\frac{2016}{2015}\)
=\(\frac{3.4...............2016}{2.3................2015}\)
=\(\frac{2016}{2}=1008\)
TA CÓ
y=1/2.2/3.3/4..............2013/2014.2014/2015
y=(1.2.3...............2014)/(2.3.4..............2015)
y=1/2015
\(H=\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(\Leftrightarrow H=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\frac{99}{100}\)
\(\Leftrightarrow H=\frac{1.2.3.4.....99}{2.3.4.5.....100}\)
\(\Leftrightarrow H=\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow2A=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+...+\left(\frac{1}{2}\right)^{2014}\)
\(\Rightarrow2A-A=A=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2015}\)
Với B tương tự nhưng là lấy 3B
\(\left(1-\frac{1}{2}\right).\left(1-\frac{1}{3}\right).\left(1-\frac{1}{4}\right)...\left(1-\frac{1}{2015}\right)\)
\(=\left(\frac{2}{2}-\frac{1}{2}\right).\left(\frac{3}{3}-\frac{1}{3}\right).\left(\frac{4}{4}-\frac{1}{4}\right)...\left(\frac{2015}{2015}-\frac{1}{2015}\right)\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{2014}{2015}\)
\(=\frac{1}{2015}\)
\(\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)...\left(1+\frac{1}{2015}\right)\)
\(=\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{5}{4}\cdot...\cdot\frac{2016}{2015}\)
\(=\frac{2016}{2}\)
\(=1008\)
Chúng ta hãy tính toán \ int \ cos ^ n xdx trong đó n là một số nguyên dương. Trong bảng sau, cột đầu tiên biểu diễn \ cos ^ {n-1} x và dẫn xuất của nó, và cột thứ hai đại diện cho \ cos x và tích phân của nó.
$$ \ begin {array} {ccc}
\ cos ^ {n-1} x & & \ cos x \\
& \ stackrel {+} {\ searrow} & \\
- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x & \ stackrel {-} {\ longrightarrow} & \ sin x \\
\ end {array} $$
Bằng cách tích hợp theo các bộ phận , chúng tôi có
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ n xdx & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2xdx \\
(n-1) x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} xdx- (n-1) \ int \ cos ^ {n-1} xdx + C '
\ end {align *}
trong đó C ' là hằng số. Giải quyết điều này với \ int \ cos ^ nxdx , chúng ta có được
\ begin {equation}
\ label {eq: cosred}
\ int \ cos \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ C
\ end {equation}
trong đó C = \ frac {C '} {n} . Công thức như \ eqref (eq: cosred) được gọi là công thức giảm .Tương tự, chúng ta có các công thức giảm dưới đây.
\ begin {align}
\ int \ sin ^ n xdx & = - \ frac {1} {n} \ sin ^ {n-1} x \ cos x + \ frac {n-1} {n} \ int \ sin ^ {n-2} dx \\
\ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \
\ int \ sec ^ nxdx & = \ frac {1} {n-1} \ sec ^ {n-2} x \ tan x + \ frac {n-2} {n-1} \ int \ sec ^ {n-2 } xdx, \ n \ ne 1
\ end {align}
Ví dụ . Sử dụng công thức giảm \ eqref {eq: cosred} để đánh giá \ int \ cos ^ 3xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ 3xdx & = \ frac {1} {3} \ cos ^ 2x \ sin x + \ frac {2} {3} \ int \ cos xdx \\
\ frac {2} {3} \ sin x + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Tích hợp như ví dụ sau là khá phức tạp.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ sec xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ sec xdx & = \ int \ sec x \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ int \ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ frac {du} {u} \ (\ mbox {substitution} \ u = \ sec + \ tan x) \\
& = \ ln | u | + C \\
& = \ ln | \ sec x + \ tan x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ csc xdx .
Giải pháp . Nó có thể được thực hiện tương tự như ví dụ trước.
\ begin {align *}
\ int \ csc xdx & = \ int \ csc x \ frac {\ csc x + \ cot x} {\ csc x + \ cot x} dx \\
& = - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.Chúng ta hãy tính toán \ int \ cos ^ n xdx trong đó n là một số nguyên dương. Trong bảng sau, cột đầu tiên biểu diễn \ cos ^ {n-1} x và dẫn xuất của nó, và cột thứ hai đại diện cho \ cos x và tích phân của nó.
$$ \ begin {array} {ccc}
\ cos ^ {n-1} x & & \ cos x \\
& \ stackrel {+} {\ searrow} & \\
- (n-1) \ cos ^ {n-2} x \ sin x & \ stackrel {-} {\ longrightarrow} & \ sin x \\
\ end {array} $$
Bằng cách tích hợp theo các bộ phận , chúng tôi có
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ n xdx & = \ cos ^ {n-1} x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} x \ sin ^ 2xdx \\
(n-1) x \ sin x + (n-1) \ int \ cos ^ {n-2} xdx- (n-1) \ int \ cos ^ {n-1} xdx + C '
\ end {align *}
trong đó C ' là hằng số. Giải quyết điều này với \ int \ cos ^ nxdx , chúng ta có được
\ begin {equation}
\ label {eq: cosred}
\ int \ cos \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ C
\ end {equation}
trong đó C = \ frac {C '} {n} . Công thức như \ eqref (eq: cosred) được gọi là công thức giảm .Tương tự, chúng ta có các công thức giảm dưới đây.
\ begin {align}
\ int \ sin ^ n xdx & = - \ frac {1} {n} \ sin ^ {n-1} x \ cos x + \ frac {n-1} {n} \ int \ sin ^ {n-2} dx \\
\ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \ n \
\ int \ sec ^ nxdx & = \ frac {1} {n-1} \ sec ^ {n-2} x \ tan x + \ frac {n-2} {n-1} \ int \ sec ^ {n-2 } xdx, \ n \ ne 1
\ end {align}
Ví dụ . Sử dụng công thức giảm \ eqref {eq: cosred} để đánh giá \ int \ cos ^ 3xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ cos ^ 3xdx & = \ frac {1} {3} \ cos ^ 2x \ sin x + \ frac {2} {3} \ int \ cos xdx \\
\ frac {2} {3} \ sin x + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Tích hợp như ví dụ sau là khá phức tạp.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ sec xdx .
Giải pháp .
\ begin {align *}
\ int \ sec xdx & = \ int \ sec x \ frac {\ sec x + \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ int \ frac {\ sec ^ 2x + \ sec x \ tan x} {\ sec x + \ tan x} dx \\
& = \ frac {du} {u} \ (\ mbox {substitution} \ u = \ sec + \ tan x) \\
& = \ ln | u | + C \\
& = \ ln | \ sec x + \ tan x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.
Ví dụ . Đánh giá \ int \ csc xdx .
Giải pháp . Nó có thể được thực hiện tương tự như ví dụ trước.
\ begin {align *}
\ int \ csc xdx & = \ int \ csc x \ frac {\ csc x + \ cot x} {\ csc x + \ cot x} dx \\
& = - \ ln | \ csc x + \ cot x | + C,
\ end {align *}
trong đó C là hằng số.