Question

[Minh Nguyễn Cao]

Khỏi vẽ hinh nha

Tam giác ABC nhọn có AB < AC. Kẻ đường cao AH. Đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB,AC tại D,E. Đường thẳng DE cắt BC tại S. Đường thẳng SO cắt AB,AC tại M,N, DE cắt HM,HN tại P,Q. CMR: BP, CQ, AH đồng quy

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi ST là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ S tới đường tròn (O) (T tiếp điểm). SO cắt (O) tại hai điểm K,L (K gần S)

Ta có SH,ST là 2 tiếp tuyến của (O) => SH = ST. Do đó OS là trung trực của TH hay OS vuông góc TH

Mà TH vuông góc TA nên TA // SO => ^SMD = ^TAD = ^STD => Tứ giác STMD nội tiếp

Suy ra ^TMN = ^TDE = 180⁰ - ^TAN => Tứ giác ATMN nội tiếp. Kết hợp với TA // MN (cmt)

Suy ra ATMN là hình thang cân. Cũng dễ có ATKL là hình thang cân

Từ đó \(\Delta\)TMK = \(\Delta\)ANL (c.g.c) => KM = LN => OM = ON. Từ đây tứ giác AMHN là hình bình hành

=> HN // AM => ^CHQ = ^ABC. Mặt khác dễ chỉ ra tứ giác BDEC nội tiếp => ^CHQ = ^AED

=> Tứ giác HQEC nội tiếp => ^HQC = ^HEC = 90⁰ => CQ vuông góc HN và AM

Tương tự BP vuông góc AN. Do vậy BP,CQ là các đường cao trong \(\Delta\)ABC

Vậy thì BP,CQ,AH đồng quy tại trực tâm của \(\Delta\)ABC (đpcm).

Answer 2

[nguyễn trí tâm]

x^3+y^3=x^2+42xy+y^2