Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sử dụng quy tắc đa thức: \(P\left(a\right)-P\left(b\right)\) chia hết \(a-b\) cho đa thức hệ số nguyên
Do a;b;c;d lẻ nên hiệu của chúng đều chẵn
\(P\left(c\right)-P\left(a\right)=4\Rightarrow4⋮c-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c-a=-2\\c-a=-4\end{matrix}\right.\)
Tương tự ta có \(\left[{}\begin{matrix}b-a=-2\\b-a=-4\end{matrix}\right.\)
Mà \(a>b>c\) \(\Rightarrow b-a>c-a\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b-a=-2\\c-a=-4\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a;b;c\) là 3 số nguyên lẻ liên tiếp
Lại có \(P\left(b\right)-P\left(d\right)=4⋮b-d\Rightarrow b-d=\left\{-4;-2;2;4\right\}\)
Tương tự: \(c-d=\left\{-4;-2;2;4\right\}\) (1)
Do đã chứng minh được a; b và c là 2 số lẻ liên tiếp \(\Rightarrow c=b-2\) ; \(c=a-4\) (2)
- Nếu \(b-d=-4\Rightarrow c-d=b-2-d=-4-2=-6\) không thỏa mãn (1) (loại)
- Nếu \(b-d=-2\Rightarrow c-d=b-d-2=-4\) \(\Rightarrow c=d-4\)
\(\Rightarrow d=a\) theo (2) trái giả thiết a;b;c;d phân biệt (loại)
- Nếu \(b-d=2\Rightarrow c-d=b-d-2=0\Rightarrow c=d\) trái giả thiết c;d phân biệt (loại)
- Nếu \(b-d=4\Rightarrow c-d=b-d-2=2\)
\(\Rightarrow d\) là số lẻ liền trước của c
Vậy a;b;c;d là bốn số nguyên lẻ liên tiếp theo thứ tự \(a>b>c>d\)
\(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)=6c^2+2bc+3bc+b^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)-6c^2-2bc-3bc=b^2\)
\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=b^2\) ( 1 )
Dễ thấy \(a^2c^2+2ac-6c⋮c\) ( 2 )
Gọi d là ƯC của c và \(a^2c^2+2ac-6c-5b+1\) , ta có :
\(\orbr{\begin{cases}c⋮d\\a^2c^2+2ac-6c-5b+1⋮d\end{cases}}\Rightarrow c-a^2c^2+2ac-6c-5b+1⋮d\) ( 3 )
Từ ( 2 ) và ( 3 ) => 1 - 5b chia hết cho d
Đặt c = kd ; a2c2 + 2ac - 6c - 5b + 1 = td ( \(k;t\in Z\))
\(\Rightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=kd.td=ktd^2\) ( 4 )
Từ ( 1 ) và ( 4 ) => b2 = ktd2
\(\Rightarrow b⋮d\Rightarrow5b⋮d\). Mà 1 - 5b chia hết cho d
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)
=> Đpcm
Sửa lại một tí
Chỗ ( 2 ) chỉnh dấu lại :)
( 3 ) \(c-a^2c^2-2ac+6c+5b-1⋮d\)
Từ ( 2 ) và ( 3 ) => 5b - 1 chia hết cho d
Từ ( 1 ) và ( 4 ) ... => 5b chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d => d = 1
=> Đpcm
Vì c, d là 2 số nguyên liên tiếp nên \(d=c+1\)
Thay vào đẳng thức \(a-b=a^2c-b^2d\)ta được
\(a-b=a^2c-b^2\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left[c\left(a+b\right)-1\right]=b^2\)
Dễ dàng chứng minh được \(\left(a-b,c\left(a+b\right)-1\right)=1\)
nên \(\left|a-b\right|\)là số chính phương
Tui lười nghĩ đoạn CM nguyên tố cùng nhau lắm @@