Question

[Hà Nam Khánh]

Hãy chứng minh rằng trong tập hợp các số tự nhiên có vô hạn số nguyên tố.

Answer 1

[Lê Song Phương]

 Giả sử có hữu hạn số nguyên tố là \(p_1,p_2,...,p_n\) với \(n\ge1\)

 Gọi \(p_i\left(1\le i\le n\right)\) là số nguyên tố lớn nhất trong n số nguyên tố trên. Xét số \(P=p_1p_2...p_n+1\), rõ ràng \(P>p_i\) . Hơn nữa \(P\) không chia chết cho bất kì số nguyên tố \(p_j\left(1\le j\le n\right)\) nào nên \(P\) cũng là một số nguyên tố.

 Như vậy, ta tìm được một số nguyên tố mới lớn hơn \(p_i\) là số nguyên tố lớn nhất. Điều này là vô lí.

 Vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) Có vô hạn số nguyên tố.