Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
ĐKXĐ: \(-1< x< 2\)
Khi đó:
\(\Leftrightarrow log_2\left(2-x\right)\left(2x+2\right)-2log_2\left(m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow log_2\frac{\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}}{m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}}{m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}\le m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}+\frac{x}{2}-4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\le m\)
Đặt \(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}=t\Rightarrow\sqrt{3}\le t\le3\)
\(t^2=x+4+2\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}+\frac{x}{2}=\frac{t^2}{2}-2\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{2}-4t-2\le m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}-4t-2\) trên \(\left[\sqrt{3};3\right]\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(3\right)=-\frac{19}{2}\Rightarrow m_{min}=-\frac{19}{2}\)
Điều kiện \(x>\frac{1}{2},x\ne3\).
Với điều kiện đó, phương trình tương đương với :
\(4\log_2\left|x-3\right|-4\log_2\left(2x-1\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\log_2\frac{\left|x-3\right|}{2x-1}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|x-3\right|}{2x-1}=2\Leftrightarrow\left|x-3\right|=4x-2\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x-3=4x-2\\x-3=-4x+2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\)
d) Điều kiện \(\begin{cases}x\ne0\\\log_2\left|x\right|\ge0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left|x\right|\ge\)1
Phương trình đã cho tương đương với :
\(\log_2\left|x\right|^{\frac{1}{2}}-4\sqrt{\log_{2^2}\left|x\right|}-5=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\log_2\left|x\right|-4\sqrt{\frac{1}{4}\log_2\left|x\right|}-5=0\)
Đặt \(t=\sqrt{\frac{1}{2}\log_2\left|x\right|}\) \(\left(t\ge0\right)\) thì phương trình trở thành :
\(t^2-4t-5=0\) hay t=-1 V t=5
Do \(t\ge0\) nên t=5
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\log_2\left|x\right|=25\Leftrightarrow\log_2\left|x\right|=50\Leftrightarrow\left|x\right|=2^{50}\) Thỏa mãn
Vậy \(x=\pm2^{50}\) là nghiệm của phương trình
c) Điều kiện x>0. Phương trình đã cho tương đương với :
\(x^{lg^2x^2-3lgx-\frac{9}{2}}=\left(10^{lgx}\right)^{-2}\)
\(\Leftrightarrow lg^2x^2-3lgx-\frac{9}{2}=-2\)
\(\Leftrightarrow8lg^2x-6lgx-5=0\)
Đặt \(t=lgx\left(t\in R\right)\) thì phương trình trở thành
\(8t^2-6t-5=0\) hay\(t=-\frac{1}{2}\) V \(t=\frac{5}{4}\)
Với \(t=-\frac{1}{2}\) thì \(lgx=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
Với \(t=\frac{5}{4}\) thì \(lgx=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{10^5}\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\sqrt[4]{10^5}\) và \(x=\frac{1}{\sqrt{10}}\)