Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Theo tính chất trọng tâm ta luôn có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\Rightarrow m=n=-1\Rightarrow m+n=-2\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
\(\overrightarrow{GC}=0-\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)
Lời giải:
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì ta có 1 bổ đề quen thuộc là:
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow \overrightarrow{GC}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
Ta có:
\(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})-(\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC})\)
\(=\frac{1}{2}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})-[-\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})]\)
\(=\frac{\overrightarrow{a}}{2}+\frac{5\overrightarrow{b}}{2}\)
Câu 2:
Vì G là trọng tâm nên \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
hay \(\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)
=>m=-1; n=-2
\(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\)
\(\Rightarrow m=n=-\frac{1}{3}\Rightarrow mn=\frac{1}{9}\)
Lời giải:
a) Gọi giao của hai đường chéo là $I$ thì $I$ là trung điểm của $AD$ và $BC$
Do đó, \(A,G,I,D\) thẳng hàng. Áp dụng tính chất của đường trung tuyến:
\(\bullet \overrightarrow{GA}=\frac{-1}{3}\overrightarrow{AD}\)
\(\bullet \overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}\)
\(\bullet \overrightarrow{GD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)
\(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GD}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AB}\)
b) Áp dụng công thức phần a:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{GM}-\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{DM}=\overrightarrow{BD}\)
Do đó $M$ là điểm nằm trên đường thằng $BD$ sao cho $D$ là trung điểm của $BM$
* câu a hình như sai rồi đó bn
* câu b mk đọc o hiểu j hết