Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a+b\ge c+d\)
Từ giả thiết suy ra \(b+c\ge\frac{a+b+c+d}{2}\)
\(A=\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+b}=\frac{b+c}{c+d}-\left(\frac{c}{c+d}-\frac{c}{a+b}\right)\)
\(\ge\frac{a+b+c+d}{2\left(c+d\right)}-\left(\frac{c+d}{c+d}-\frac{c+d}{a+b}\right)\)
Đặt a + b = x ; c + d = y ( \(x\ge y>0\), ta có :
\(A\ge\frac{x+y}{2y}-\frac{y}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x}{2y}+\frac{1}{2}-1+\frac{y}{x}=\left(\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\right)-\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{x}{2y}.\frac{y}{x}}-\frac{1}{2}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\sqrt{2}-\frac{1}{2}\Leftrightarrow d=0,x=y\sqrt{2};b+c=a+d\)
chẳng hạn \(a=\sqrt{2}+1;b=\sqrt{2}-1;c=2;d=0\)
Bài làm:
Ta có: \(S=\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{a+c}+\frac{c-a}{d+a}\)
\(S=\left(\frac{a-d}{b+d}+1\right)+\left(\frac{d-b}{c+b}+1\right)+\left(\frac{b-c}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c-a}{d+a}+1\right)-4\)
\(S=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{d+a}-4\)
\(S=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{d+a}\right)-4\)
\(\ge\left(a+b\right)\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+c+d}+\left(c+d\right)\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b+c+d}-4\)
\(=\frac{4\left(a+b\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(c+d\right)}{a+b+c+d}-4=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}-4=4-4=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=d\)
Vậy \(Min\left(S\right)=0\Leftrightarrow a=b=c=d\)
Học tốt!!!!
Bài 2:
Áp dụng Bdt Cauchy-Schwarz dạng engel, ta có
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
Mà theo Bđt cosi
\(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left[\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(a+c\right)\left(b+d\right)+\left(a+d\right)\left(b+c\right)\right]}\ge\frac{2}{3}\)
áp dụng bđt này nhé: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\text{≥ }\frac{4}{x+y}\)
ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\text{≥ }\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c+d}\text{= }4.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\text{\text{≥ }}4.\frac{4}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\text{≥ }\frac{4}{a+b}+\frac{4}{c+d}\)
=\(4.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)\text{≥ }4.\frac{4}{a+b+c+d}\)
=\(\frac{16}{a+b+c+d}\)
Câu đề HN vừa thi hôm trước, sửa thành tìm max
Áp dụng BĐT Bunyakovsky ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(=6\left(a+b+c\right)\le6\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)\le\sqrt{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1/3
Làm xong mới thấy không giống lắm hihi:D