Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hiệu: (a3 + b3 + c3) - (a + b + c)
= (a3 - a) + (b3 - b) + (c3 - c)
= a.(a2 - 1) + b.(b2 - 1) + c.(c2 - 1)
= a.(a - 1).(a + 1) + b.(b - 1).(b + 1) + c.(c - 1).(c + 1)
Dễ thấy mỗi tích trên chia hết cho 6 vì là tích 3 số nguyên liên tiếp
=> (a3 + b3 + c3) - (a + b + c) chia hết cho 6
Mà a + b + c chia hết cho 6 => a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 (đpcm)
Bài làm:
Ta có:
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(a+b-2c)2+(b+c-2a)2+(c+a-2b)2
<=> a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=6a2+6b2+6c2-6(ab+bc+ca)
<=> \(4a^2+4b^2+4c^2-4ab-4bc-4ca=0\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
<=> \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=\left(a+b-2c\right)^2+\left(b+c-2a\right)^2+\left(c+a-2b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-4ab-4bc-4ca=\left(a+b\right)^2\)
\(+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2-4\left(b+c\right)a+4a^2-4\left(c+a\right)b+4b^2-4\left(a+b\right)c+4c^2\)
\(\Leftrightarrow-4ab-4bc-4ca=-4\left(b+c\right)a+4a^2-4\left(c+a\right)b+4b^2-4\left(a+b\right)c+4c^2\)
\(\Leftrightarrow ab-\left(a+b\right)c+c^2+bc-\left(b+c\right)a+a^2+ca-\left(c+a\right)b+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow ab-ac-bc+c^2+bc-ba-ca+a^2+ca-cb-ab+b^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)