Question

[Cloud9_Mr.Sharko]

GIÚP MÌNH GIẢI BÀI NÀY VỚI, MÌNH CẦN GẤP, SÁNG MAI MINH CẦN RỒI !!!

cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) chứng minh: tam giác ABE và tam giác ACF

b) chứng minh: AB.BF+AC.CE=BC^2

c) gọi K là giao của EF và BC, chứng minh: KE.KF=KB.KC

d) chứng minh: EH là tia phân giác của góc FED

e) gọi I là giao của AD và EF chứng minh: IH/HD=AI/AD

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE~ΔACF

b: Xét ΔBFC vuông tại F và ΔBDA vuông tại D có

\(\widehat{FBC}\) chung

Do đó: ΔBFC~ΔBDA

=>\(\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BF\cdot BA=BD\cdot BC\)

Xét ΔCEB vuông tại E và ΔCDA vuông tại D có

\(\widehat{ECB}\) chung

Do đó: ΔCEB~ΔCDA

=>\(\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{CB}{CA}\)

=>\(CE\cdot CA=CB\cdot CD\)

\(BF\cdot BA+CA\cdot CE=BD\cdot BC+BC\cdot CD\)

=BC(BD+CD)

\(=BC^2\)

c: ΔAEB~ΔAFC

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

Xét ΔAEF và ΔABC có

\(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔABC

=>\(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)
=>\(\widehat{KFB}=\widehat{KCE}\)

Xét ΔKFB và ΔKCE có

\(\widehat{KFB}=\widehat{KCE}\)

\(\widehat{FKB}\) chung

Do đó: ΔKFB~ΔKCE
 

d: Xét tứ giác AFHE có \(\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=180^0\)

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CDHE có \(\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(CDHE nội tiếp)

mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)

=>EH là phân giác của góc FED