Question

[Cô nàng bí ẩn]

Giải pt nghiệm nguyên:

2y(2x²+1) - 2x(2y²+1)+1=x³.y³

Answer 1

[Doãn Thanh Phương]

Lời giải:

Ta đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương.

TH1: x,y∈Z+x,y∈Z+

PT tương đương: (x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y(x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y

Nếu x=yx=y thì hiển nhiên có xy=1⇒x=y=1xy=1⇒x=y=1.

Xét x>yx>y có 4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy(1)(1)

Vì 2(x−y)−1≠02(x−y)−1≠0 nên suy ra để có (1)(1) thì 2(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<02(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<0

⇒y−2<0→y=1⇒y−2<0→y=1. Thay vào PT ban đầu thu được x=y=1x=y=1 (loại vì đang xét x>yx>y)

TH2: x,yx,y đều âm. Ta thay x=−a,y=−bx=−a,y=−b với a,ba,b nguyên dương.

Phương trình trở thành 2a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)32a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)3

Đây là dạng PT tương tự TH1, ta cũng thu được a=b=1a=b=1, tức là x=y=−1x=y=−1

TH3: x>0,y<0x>0,y<0. Đặt x=a,y=−bx=a,y=−b (a,ba,b nguyên dương)

PT tương đương: 2b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)32b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)3

⇒2(a+b)−1⋮ab⇒2(a+b)−1⋮ab. Vì 2(a+b)−1≠02(a+b)−1≠0 nên 2(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤32(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤3

Với a,b≥1a,b≥1 dễ dàng suy ra không có bộ nghiệm nào thỏa mãn

TH4: x<0,y>0x<0,y>0. Đặt x=−a,y=bx=−a,y=b (a,ba,b nguyên dương)

PT tương đương 2a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=02a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=0 (vô lý)

Vậy (x,y)=(1;1)(x,y)=(1;1) hoặc (x,y)=(−1;−1)

Answer 2

[Đông Ngân Phương Nhi]

Lời giải:

Ta đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương.

TH1: x,y∈Z+x,y∈Z+

PT tương đương: (x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y(x−y)(4xy−2)=(xy)3−1≥0⇒x≥y

Nếu x=yx=y thì hiển nhiên có xy=1⇒x=y=1xy=1⇒x=y=1.

Xét x>yx>y có 4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy4xy(x−y)−2(x−y)+1=(xy)3⋮xy⇒2(x−y)−1⋮xy(1)(1)

Vì 2(x−y)−1≠02(x−y)−1≠0 nên suy ra để có (1)(1) thì 2(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<02(x−y)−1≥xy⇔(y−2)(x+2)≤−5<0

⇒y−2<0→y=1⇒y−2<0→y=1. Thay vào PT ban đầu thu được x=y=1x=y=1 (loại vì đang xét x>yx>y)

TH2: x,yx,y đều âm. Ta thay x=−a,y=−bx=−a,y=−b với a,ba,b nguyên dương.

Phương trình trở thành 2a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)32a(2b2+1)−2b(2a2+1)+1=(ab)3

Đây là dạng PT tương tự TH1, ta cũng thu được a=b=1a=b=1, tức là x=y=−1x=y=−1

TH3: x>0,y<0x>0,y<0. Đặt x=a,y=−bx=a,y=−b (a,ba,b nguyên dương)

PT tương đương: 2b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)32b(2a2+1)+2a(2b2+1)−1=(ab)3

⇒2(a+b)−1⋮ab⇒2(a+b)−1⋮ab. Vì 2(a+b)−1≠02(a+b)−1≠0 nên 2(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤32(a+b)−1≥ab⇒(a−2)(b−2)≤3

Với a,b≥1a,b≥1 dễ dàng suy ra không có bộ nghiệm nào thỏa mãn

TH4: x<0,y>0x<0,y>0. Đặt x=−a,y=bx=−a,y=b (a,ba,b nguyên dương)

PT tương đương 2a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=02a(2b2+1)+2b(2a2+1)+1+(ab)3=0 (vô lý)

Vậy (x,y)=(1;1)(x,y)=(1;1) hoặc (x,y)=(−1;−1)