Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. \(\hept{\begin{cases}x^2+2y^2=4x-1\\y^2+2x^2=4y-1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+2y^2\right)-\left(y^2+2x^2\right)=4x-1-\left(4y-1\right)\\\left(x^2+2y^2\right)+\left(y^2+2x^2\right)=4x-1+4y-1\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y^2-x^2=4x-4y\left(1\right)\\3\left(x^2+y^2\right)=4\left(x+y\right)-2\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ ( 1 ) \(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x+y\right)-4\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x+y=-4\end{cases}}\)
Với x = y thì thay vào ( 2 ), ta được : \(6x^2-8x+2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
Với x + y = -4 thay vào ( 2 ), ta được : \(3\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=4.\left(-4\right)-2\)
\(\Leftrightarrow-6xy=-66\Leftrightarrow xy=11\)
Ta được hệ phương trình : \(\hept{\begin{cases}x+y=-4\\xy=11\end{cases}}\) mà hệ phương trình này vô nghiệm
2. Ta cần chứng minh BĐT : \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) với a,b > 0
Thật vậy, xét hiệu :
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)\(\ge\)0
Áp dụng BĐT trên, ta có : \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)
Tương tự : ....
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)
Vậy GTLN của biểu thức là 1 khi x = y = z = 1
Câu này với câu ah vừa HD có chung cách, thật ra cái này dặt ẩn phụ là sẽ chuyển về cái kia nhé!
Lấy vế trừ vế ta được (x-y)(4x+4y+1-3/xy) rồi tự giải tiếp
Cái đó bằng 0