KN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 8 2017
Có : \(a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)\) (Vì a + b = 2)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+a^3b+ab^3+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3.\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2.\left(a^2-ab+b^2\right)\ge0\) (đúng)
\(\Rightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Đẳng thức xảy ra
<=> a = b = 1
1 tháng 4 2019
1.
Xét hiệu:
\(x^3+y^3-\left(x^2y+xy^2\right)=\left(x^3-x^2y\right)-\left(xy^2+y^3\right)\)
\(=x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)=\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(=\left(x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\), Với mọi x, y không âm
Vậy \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)với mọi x, y không âm
2. \(111\left(x-2\right)\ge1998\Leftrightarrow x-2\ge\frac{1998}{11}\Leftrightarrow x\ge\frac{1998}{11}+2=\frac{2020}{11}\)
3. Xét hiệu:
\(\frac{a-b}{b}-1=\frac{a}{b}-1-1=\frac{a}{b}-2>\frac{2b}{b}-2=2-2=0\)Với mọi , a, b dương
Vậy \(\frac{a-b}{b}>1\)với mọi a, b dương
1 tháng 4 2019
4) xét hiệu:
\(x^2+y^2+z^2+14-\left(4x+2y+6z\right)\ge0\)\
<=> \(x^2-4x+4+y^2-2y+1+z^2-6z+9=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-3\right)^2\ge0\)luôn đúng vs mọi x, y, z
Vậy suy ra điều cần chứng minh
24 tháng 3 2017
Bài 1:
Ta có: (2a-2b)2 lớn hơn hặc bằng 0
<=> 4a2-8ab+4b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2-a2-8ab+20b2-16b2 lớn hơn hoặc bằng 0
<=> 5a2+20b2 lớn hơn hoặc bằng a2+8ab+16b
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng (a+4b)2
<=> 5(a2+4b2) lớn hơn hoặc bằng 1 [ Thay (a+4b)2 =1]
24 tháng 3 2017
3)
\(a=b+1\Leftrightarrow a+1>b+1\Leftrightarrow a>b+1-1\\ \Leftrightarrow a>b\)
KN
22 tháng 10 2019
Câu 9.
a) Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\)(điều hiển nhiên)
\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\left(đpcm\right)\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:
\(a+1\ge2\sqrt{a}\)
\(b+1\ge2\sqrt{b}\)
\(c+1\ge2\sqrt{c}\)
\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)
KN
22 tháng 10 2019
Câu 10.
a) Ta có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\)(điều hiển nhiên)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
Có: \(2ab\le a^2+b^2;2bc\le b^2+c^2;2ac\le a^2+c^2\)(BĐT Cauchy)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Vậy \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
29 tháng 10 2019
Ta có : ( a - b )2 + 4ab
= a2 - 2ab + b2 + 4ab
= a2 + 2ab + b2
= ( a + b )2 ( Vế trái )
Do đó : ( a + b )2 = ( a - b )2 + 4ab
29 tháng 10 2019
+) Biến đổi vế phải ta có :
\(\left(A-B\right)^2+4AB\)
\(=A^2-2AB+B^2+4AB\)
\(=A^2+2AB+B^2=\left(A+B\right)^2=VT\left(đpcm\right)\)
2 tháng 10 2016
a) \(4a^3b^3c^2x+12a^3b^4c^2-16a^4b^5cx\)
\(=4a^3b^3c\left(cx+3bc-4ab^2x\right)\)
b) \(\left(b-2c\right)\left(a-b\right)-\left(a+b\right)\left(2c-b\right)\)
\(=\left(b-2c\right)\left(a-b+a+b\right)=2a\left(b-2c\right)\)
c) \(3a\left(a+5\right)-2\left(5+a\right)=\left(a+5\right)\left(3a-2\right)\)
d) \(\left(x+1\right)^2-3\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\left(x+1-3\right)\)
\(a+b=1\Rightarrow b=1-a\Rightarrow b^2=\left(1-a\right)^2\)
\(\Rightarrow3a^2+b^2=3a^2+\left(1-a\right)^2=4a^2-2a+1\)
Mà \(4a^2-2a+1=\left(2a\right)^2-2.2a.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)
\(=\left(2a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)\(\left(đpcm\right)\)