giả sử x,y laf2 số dương thỏa mãn \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\)tìm GTNN của x+y

HL

Huy Lê

19 tháng 8 2020 - olm

Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn đk \(x^2+y^2+z^2=1\). Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\)

#Toán lớp 10

1

TL

Tran Le Khanh Linh

19 tháng 8 2020

Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản

Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)

\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)

Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Đúng(0)

HL

Huy Lê

20 tháng 8 2020 - olm

Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y=5\). Tìm GTNN của \(P=\frac{4x+y}{xy}+\frac{2x-y}{4}\)

#Toán lớp 10

0

HL

Hiếu Lê

18 tháng 8 2020 - olm

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn \(xy+yz+xz\ge3\)> Tìm GTNN của biểu thức

\(P=\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\)

#Toán lớp 10

1

TL

Tran Le Khanh Linh

18 tháng 8 2020

Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}\cdot\frac{1+y}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\\\frac{y^3}{1+z}+\frac{1+z}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+z}\cdot\frac{1+z}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\\\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{1+x}\cdot\frac{1+x}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3z}{2}\end{cases}}\)

Cộng vế theo vế ta được \(P+\frac{3+x+y+z}{4}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{9}{4}\)

Mà ta có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge9\Rightarrow x+y+z\ge3\)

Do đó \(P\ge\frac{5}{4}\cdot3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Vậy minP=\(\frac{3}{2}\)khi x=y=z=1

Đúng(0)

NK

Nguyen Kim Chi

2 tháng 9 2016

cho 3 số thực dương z;y;z thỏa mãn x+y+z<hoạc = 3/2

tìm GTNN của biểu thức :

\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)

#Toán lớp 10

1

KK

Kuro Kazuya

21 tháng 1 2017

Áp dụng BĐT Cô - si cho 3 bộ số không âm

\(\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)

Xét \(3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(\frac{xy+1}{x}\right)\left(\frac{yz+1}{y}\right)\left(\frac{xz+1}{z}\right)}\)

\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô - si

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\\z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\\x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\ge8\)

\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}\)

\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\ge6\)

\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\ge6\)

Mà \(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(xz+1\right)}{xyz}}\)

\(\Rightarrow\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge6\)

Vậy GTNN của \(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(xz+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}=6\)

Đúng(0)

HL

Huy Lê

20 tháng 8 2020 - olm

Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=2. Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(T=\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\)

#Toán lớp 10

1

TL

Tran Le Khanh Linh

20 tháng 8 2020

Ta có \(\left(\frac{x^3}{y^2+z}+\frac{y^3}{z^2+x}+\frac{z^3}{x^2+y}\right)\left[x\left(y^2+x\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\left(1\right)\)

Ta chứng minh \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\frac{4}{5}\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow5\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge4\left[x\left(y^2+z\right)+y\left(z^2+x\right)+z\left(x^2+y\right)\right]\left(2\right)\)

Thật vậy \(\hept{\begin{matrix}3\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\left(\Sigma x^2\right)\cdot\Sigma x^2=4\Sigma zx\left(3\right)\\2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge4\Sigma xy^2\left(4\right)\end{matrix}\Leftrightarrow2\left(\Sigma x^2\right)^2\ge\Sigma xy^2\left(x+y+z\right)}\)(*)

Từ các Bất Đẳng Thức \(\hept{\begin{cases}\frac{x^4-2x^3z+z^2x^2}{2}\ge0\\\frac{x^4+y^4+2x^4}{4}\ge xyz^2\end{cases}}\)=> (*) đúng

Như vậy (3),(4) đúng => (2) đúng

Từ đó suy ra \(T\ge\frac{4}{5}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)

Đúng(0)

XT

xuan thuy

1 tháng 4 2022

cho số thực dương x;y thỏa mãn x+2y=6 .tìm GTNN của P=\(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\)

#Toán lớp 10

1

TH

Thái Hưng Mai Thanh

1 tháng 4 2022

\(x+2y=6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6}{2}=\dfrac{x}{2}+y\)

\(P+\dfrac{6}{2}=\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{x}{2}+y\)

\(\Leftrightarrow P+\dfrac{6}{2}=\left(\dfrac{8}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+\left(\dfrac{1}{y}+y\right)\)

vì x;y là số thực dương ,áp dụng BĐT Côsi ta có :

\(\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}=2\sqrt{\dfrac{8}{x}+\dfrac{x}{2}}=2\sqrt{4}=2.2=4\)

\(\dfrac{1}{y}+y=2\sqrt{\dfrac{1}{y}+y}=2\sqrt{1}=2.1=2\)

nên \(P+\dfrac{6}{2}\ge6\)

\(\Leftrightarrow P\ge6-\dfrac{6}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge3\)

vậy \(P_{min}=3\)

Đúng(3)

TH

Thu Hiền

15 tháng 4 2016

Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

\(P=\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+zx}+\frac{z^2+2}{z+xy}\)

#Toán lớp 10

1

TA

Thiên An

15 tháng 4 2016

Theo giả thiết ta có : \(x+yz=yz-z-1=\left(z-1\right)\left(y+1\right)=\left(x+y\right)\left(y+1\right)\)

Tương tự : \(y+zx=\left(x+y\right)\left(x+1\right)\)

Và \(z+xy=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

Nên \(P=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

\(=\frac{x^2+y^2+x+y}{\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{z^2+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\)

Ta có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2};\left(x+1\right)\left(y+1\right)\le\frac{\left(x+y+2\right)^2}{4}\)

nên \(P\ge\frac{2\left(x+y\right)^2+4\left(x+y\right)}{\left(x+y+2\right)^2\left(x+y\right)}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}=\frac{2\left(x+y\right)+4}{\left(x+y+2\right)^2}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(x+y+2\right)^2}\)

\(=\frac{2}{z+1}+\frac{4\left(z^2+2\right)}{\left(z+1\right)^2}=f\left(z\right);z>1\)

Lập bảng biến thiên ta được \(f\left(z\right)\ge\frac{13}{4}\) hay min \(P=\frac{13}{4}\) khi \(\begin{cases}z=3\\x=y=1\end{cases}\)

Đúng(1)

HL

Huy Lê

14 tháng 8 2020 - olm

Cho x,y>0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{xy}{6}=3\). Tìm GTNN cuả: \(P=27x^3+8y^3\)

#Toán lớp 10

1

F

FL.Hermit

14 tháng 8 2020

Có: \(x^3+8+8\ge12x\)

VÀ: \(y^3+27+27\ge27y\) (LẦN LƯỢT ÁP DỤNG BĐT CAUCHY 3 SỐ)

VÀ: \(\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}+1\ge\frac{xy}{2}\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{8}+2\ge\frac{3x}{2}\\\frac{y^3}{27}+2\ge y\\\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}+1\ge\frac{xy}{2}\end{cases}}\)

CỘNG LẦN LƯỢT 3 BĐT TRÊN LẠI TA ĐƯỢC:

=> \(\frac{2x^3}{8}+\frac{2y^3}{27}+5\ge\frac{3x}{2}+y+\frac{xy}{2}\)

MÀ: \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{xy}{6}=3\)

=> \(\frac{3x}{2}+y+\frac{xy}{2}=9\)

=> \(\frac{2x^3}{8}+\frac{2y^3}{27}+5\ge9\)

=> \(\frac{x^3}{8}+\frac{y^3}{27}\ge2\)

=> \(\frac{27x^3+8y^3}{216}\ge2\)

=> \(27x^3+8y^3\ge2.216=432\)

DẤU "=" XẢY RA <=> \(x=2;y=3\)

VẬY P MIN = 432 <=> x = 2; y = 3.

Đúng(0)

NV

Nguyễn Văn Đính

5 tháng 6 2020 - olm

cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn x+2y ≥ 8

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + \(\frac{3}{x}+\frac{9}{2y}\)

#Toán lớp 10

0

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP