Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
b) Đặt x = 2009 . Ta cần chứng minh \(\sqrt{x^2+x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2}\) là số nguyên dương.
Ta xét : \(x^2+x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2=x^2\left(x+1\right)^2+x^2+x^2+2x+1=x^2\left(x+1\right)^2+2x\left(x+1\right)+1=\left[x\left(x+1\right)+1\right]^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+x^2\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right)^2}=\left|x\left(x+1\right)+1\right|=x^2+x+1=2009^2+2009+1\) là một số nguyên dương.
Ta thấy nếu \(\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}=0\Rightarrow a^2=b^2=1\)
\(\Rightarrow a-b=0\Rightarrow a=b\) (vô lí).
Do đó ta có:
\(GT\Leftrightarrow a-b=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}}\)
\(\Leftrightarrow a+b=\sqrt{1-a^2}+\sqrt{1-b^2}\)
Mà \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)
Nên \(2a=a+b+a-b=2\sqrt{1-b^2}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{1-b^2}\Rightarrow a^2+b^2=1\).
Ta có: \(\left(a^4-a^3+2\right)-\left(a+1\right)=\left(a-1\right)^2\left(a^2+a+1\right)\ge0\)\(\Rightarrow a^4-a^3+2\ge a+1\Leftrightarrow a^4-a^3+ab+2\ge ab+a+1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^4-a^3+ab+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}\)
Tương tự:\(\frac{1}{\sqrt{b^4-b^3+bc+2}}\le\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}\); \(\frac{1}{\sqrt{c^4-c^3+ca+2}}\le\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+1}}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{abc+ac+c}+\frac{ac}{abc^2+abc+ac}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}\)\(\le\sqrt{3\left(\frac{c}{ac+c+1}+\frac{ac}{ac+c+1}+\frac{1}{ca+c+1}\right)}=\sqrt{3}\)(abc = 1)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1