Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Băng Băng 2k6, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Việt Lâm, HISINOMA KINIMADO, Akai Haruma, Inosuke Hashibira,
Nguyễn Thị Ngọc Thơ, @tth_new
help me! cần gấp lắm ạ!
thanks nhiều!
Cần CM: \(\frac{1}{9-a}-\frac{12}{a^2+63}\ge\frac{1}{144}a^2-\frac{1}{16}\) (1)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+12a-45}{\left(9-a\right)\left(a^2+63\right)}\ge\frac{1}{144}a^2-\frac{1}{16}\)
\(\Leftrightarrow\)\(144\left(a^2+12a-45\right)\ge\left(a-3\right)\left(a+3\right)\left(9-a\right)\left(a^2+63\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left[144\left(a+15\right)-\left(a+3\right)\left(9-a\right)\left(a^2+63\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)\left(a^4-6a^3+36a^2-234a+459\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)^2\left(a^3-3a^2+27a+153\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-3\right)^2\left[\left(a-3\right)^2\left(a+3\right)+36a+126\right]\ge0\) ( đúng )
Do đó (1) đúng => \(\Sigma_{cyc}\frac{1}{9-a}-\Sigma_{cyc}\frac{12}{a^2+63}\ge\frac{1}{144}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{16}=0\)
\(\Rightarrow\)\(\Sigma_{cyc}\frac{12}{a^2+63}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{9-a}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+b}\) ( do \(a+b+c\le9\) )
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=3
Chắc là số thực ko âm không có 2 số nào đồng thời bằng 0
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(c-b\le0\Rightarrow b^2+c\left(c-b\right)\le b^2\ge\frac{1}{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{b^2}\)
Tương tự \(\frac{1}{a^2-ca+c^2}\ge\frac{1}{a^2}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^2+b^2}{\left(ab\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{a^2-ab+b^2}{\left(ab\right)^2}+\frac{1}{ab}\ge2\sqrt{\frac{a^2-ab+b^2}{\left(ab\right)^2\left(a^2-ab+b^2\right)}}+\frac{1}{ab}\)
\(VT\ge\frac{3}{ab}\ge\frac{12}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{12}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=b>0\\c=0\end{matrix}\right.\) và hoán vị
Với a,b,c>0. CMR:\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{c^2}+\frac{c}{a^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
bạn lấy a/b^2 với 1/a cosi và những cái khác cũng vậy là ra
3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)
vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)
tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)
tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)
cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)
giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)
<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)
<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)
<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)
(đúng với mọi a,b,c >0) (2)
(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
Cm bất đằng thức phụ:
\(\frac{1}{1+a^2}\ge-\frac{1}{4}a+\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{4}a-\frac{3}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{4\left(a^2+1\right)}+\frac{a\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)}-\frac{3\left(a^2+1\right)}{4\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{4+a^3+a-3a^2-3}{4\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3-3a^2+a+1\ge0\)(do \(4\left(a^2+1\right)>0\))
\(\left(a-1\right)\left(a^2-2a-1\right)\ge0\)(đúng do a>0)
Tương tự với các số hạng kia:
Do đó: \(VT\ge-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\cdot3=-\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)
Vậy........
Bài này cô si ngược dấu là ra.
\(\frac{1}{1+a^2}=1-\frac{a^2}{1+a^2}\ge1-\frac{a^2}{2a}=1-\frac{a}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta được:
\(VT\ge3-\frac{a+b+c}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
P/s: Cách này hình như ngắn hơn cách bạn Lê Nhật Khôi nhỉ?
xet tam giác OBC có OB=OC=BC suy ra tam giác OBC đều suy ra CBA=60 độ
\(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c-3}\ge12\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c-6\right)^2}{a+b+c-3}\ge0\left(đúng\right)\)
Vậy có điều phải chứng minh là đúng