Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi đa thức dư khi chia f(x) cho \(\left(x-2\right)\left(x-3\right)\) là \(ax+b\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)+ax+b\left(1\right)\)
Lại có \(f\left(x\right):\left(x-2\right)R5\Leftrightarrow f\left(2\right)=5;f\left(x\right):\left(x-3\right)R7\Leftrightarrow f\left(3\right)=7\)
Thế vào \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=2a+b=5\\f\left(3\right)=3a+b=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x^2-1\right)+2x+1\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x^2-5x-6\right)\left(x^2-1\right)+2x+1\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4-x^2-5x^3+5x-6x^2+6+2x+1\\ \Leftrightarrow f\left(x\right)=x^4-5x^3-7x^2+7x+7\)
Áp dụng định lý Bezout ta được:
\(f\left(x\right)\)chia cho x+1 dư 4 \(\Rightarrow f\left(-1\right)=4\)
Vì bậc của đa thức chia là 3 nên \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)q\left(x\right)+ax^2+bx+c\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+\left(ax^2+a\right)-a+bx+c\)
\(=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)
\(=\left(x^2+1\right)\left[\left(x+1\right)q\left(x\right)+a\right]+bx+c-a\)
Vì \(f\left(-1\right)=4\)nên \(a-b+c=4\left(1\right)\)
Vì f(x) chia cho \(x^2+1\)dư 2x+3 nên
\(\hept{\begin{cases}b=2\\c-a=3\end{cases}\left(2\right)}\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+c=6\\b=2\\c-a=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{3}{2}\\b=2\\c=\frac{9}{2}\end{cases}}}\)
Vậy dư f(x) chia cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)là \(\frac{3}{2}x^2+2x+\frac{1}{2}\)
Gọi r(x) = ax + b là dư trong phép chia f(x) cho (x-1)(x-2)
Theo đề bài ta có :
f(x) = (x-1).A(x) + 2 [ A(x) là thương trong phép chia f(x) cho (x-1) ](1)
f(x) = (x+2).B(x) + 4 [ B(x) ___________________________ (x+2) ](2)
f(x) = (x-1)(x-2).C(x) + ax + b [ C(x) ___________________ (x-1)(x+2) ](3)
Với x = 1 ta có \(\hept{\begin{cases}\left(1\right)=2\\\left(3\right)=a+b\end{cases}}\Rightarrow a+b=2\)(*)
Với x = -2 ta có \(\hept{\begin{cases}\left(2\right)=4\\\left(3\right)=-2a+b\end{cases}}\Rightarrow-2a+b=4\)(**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\-2a+b=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=-2\\a+b=2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-\frac{2}{3}\\b=\frac{8}{3}\end{cases}}\)
Vậy dư là -2/3x + 8/3