K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
15 tháng 3 2022
Ta có \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2ab}=a-\dfrac{b}{2}=\dfrac{2a-b}{2}\)(áp dụng cosi cho \(a^2+b^2\ge2ab\))
\(\dfrac{b^3}{b^2+1}=b-\dfrac{b}{b^2+1}\ge b-\dfrac{b}{2b}=b-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2b-1}{2}\)(áp dụng cosi cho\(b^2+1\ge2b\))
\(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}=\dfrac{2-a}{2}\)( áp dụng cosi cho \(a^2+1\ge2a\))
Cộng vế theo vế
\(\dfrac{a^3}{a^2+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{2a-b+2b-1+2-a}{2}\)\(\ge\dfrac{a+b+1}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1
16 tháng 9 2021
\(1,\\ ĐKXĐ:6-3x>0\Leftrightarrow-3x>-6\Leftrightarrow x< 2\)
\(2,A=\sqrt{5-2\sqrt{6}}-\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}\\ A=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2}-\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|\\ A=\left|\sqrt{3}-\sqrt{2}\right|-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\\ A=\sqrt{3}-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}=0\)
29 tháng 12 2021
b: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Do đó: ABOC là tứ giác nội tiếp
24 tháng 9 2021
c: Ta có: \(C=\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)
\(=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}\)
=4
a/
Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO
=> ABOC là tứ giác nội tiếp
Ta có
HD=HE (gt)
\(\Rightarrow OH\perp DE\) (Trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và đi qua trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây cung)
=> H nhìn AO dưới 1 góc vuông => H thuộc đường tròn đường kính AO
Ta có AB=AC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)
Xét đường tròn đường kính AO có
sđ cung AB = sđ cung AC (Trong đường tròn 2 dây trương cung có độ dài bằng nhau thì số đo 2 cung tương ứng bằng nhau) (1)
Ta có
\(sđ\widehat{AHB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AB (góc nội tiếp) (2)
\(sđ\widehat{AHC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung AC (góc nội tiếp) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\) => HA là tia phân giác của \(\widehat{BHC}\)
c/ Gọi G là giao điểm của AO với BC \(\Rightarrow AO\perp BC\) (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm
Xét tg vuông AGK và tg vuông AHO có
\(\widehat{HAO}\) chung
=> tg AGK đồng dạng với tg AHO (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AK}{AO}=\dfrac{AG}{AH}\Rightarrow AK=\dfrac{AG.AO}{AH}\)
Xét tg vuông ABO có
\(AB^2=AG.AO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{AG.AO}{AH}=\dfrac{AB^2}{AH}\)
Xét tg ADB và tg ABE có
\(\widehat{BAE}\) chung
\(sđ\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BD (Góc giữa tiếp tuyến và dây cung)
\(sđ\widehat{AEB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BD (Góc nội tiếp (O))
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AEB}\)
=> tg ADB đồng dạng với tg ABE (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AE\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{AB^2}{AH}=\dfrac{AD.AE}{AH}\Rightarrow\dfrac{2}{AK}=\dfrac{2.AH}{AD.AE}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{AK}=\dfrac{AD+HD+AE-HE}{AD.AE}=\dfrac{AE+AD}{AD.AE}=\dfrac{1}{AD}+\dfrac{1}{AE}\)