Question

[Thơ Anh]

Có tồn tại hay không các số nguyên x,y,z,t sao cho \(2019=\dfrac{x^2+y^2}{z^2+t^2}\)

Các bạn giải hết cho mình với nhé, mình cảm ơn nhiều<3

Answer 1

[Trần Minh Hoàng]

Giả sử tồn tại x, y, z, t thỏa mãn.

Ta chứng minh bổ đề: Cho \(a,b\in\mathbb{Z}\). Khi đó \(a^2+b^2\vdots 3\Leftrightarrow a,b\vdots 3\).

Thật vậy, ta thấy nếu \(a,b\vdots 3\Rightarrow a^2+b^2\vdots 3\).

Nếu \(a^2+b^2\vdots 3\): Do \(a^2,b^2\equiv0;1\left(mod3\right)\) nên ta phải có \(a^2,b^2\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow a,b⋮3\).

Bổ đề dc cm.

Trở lại bài toán: Ta có 2019 chia hết cho 3 nên \(x^2+y^2⋮3\Rightarrow x,y⋮3\Rightarrow x^2+y^2⋮9\).

Mà 2019 không chia hết cho 9 nên \(z^2+t^2⋮3\Leftrightarrow z,t⋮3\).

Đặt x = 3x', y = 3y', z = 3z', t = 3t'.

Ta có \(2019=\dfrac{x^2+y^2}{z^2+t^2}=\dfrac{x'^2+y'^2}{z'^2+t'^2}\).

Cmtt, ta có \(x',y',z',t'⋮3\).

Lặp lại nhiều lần như vậy, ta có \(x,y,z,t⋮3^k\forall k\in N\).

Do đó x = y = z = t = 0 (vô lí).

Vậy không tồn tại...