Question

[Nguyễn Bảo Nam]

CMR:D=10ⁿ.18n-1 chia hết cho 27

Answer 1

[‍]

 Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9) 
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A 
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1). 
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1). 
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)

Answer 2

[Nobi Nobita]

Theo bài ta có: \(n\ge0\)( vì n liên quan tới số mũ )

Với \(n=0\)\(\Rightarrow D=10^0+18.0-1=1-1=0⋮27\)

\(\Rightarrow n=0\)đúng

Với \(n=1\)\(\Rightarrow D=10^1+18.1-1=10+18-1=27⋮27\)

\(\Rightarrow n=1\)đúng 

Giả sử bài toán đúng với mọi \(n=k\)( giả thiết quy nạp )

\(\Rightarrow D=10^k+18k-1⋮27\)

Ta phải chứng minh bài toán đúng với \(n=k+1\)

\(\Rightarrow D=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1⋮27\)

Thật vậy ta có:

\(D=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1=10^k.10+18k+18-1\)

\(=10^k+18k-1+9.10^k+18=\left(10^k+18k-1\right)+9\left(10^k+2\right)\)

Vì \(10^k+2\)có tổng các chữ số là \(1+2=3⋮3\)

\(\Rightarrow9\left(10^k+2\right)⋮9.3\)\(\Rightarrow9\left(10^k+2\right)⋮27\)

mà \(10^k+18k-1⋮27\)( giả thiết quy nạp )

\(\Rightarrow D=10^{k+1}+18\left(k+1\right)-1⋮27\)

Vậy bài toán đã được chứng minh