Question

[Eira]

CMR:

a) \(x^2+4y^2+z^2+14\ge2x+2y+4z\) 

b) \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\)  với mọi x,y cùng dấu

c) \(x^2+xy+y^2-3x-3y+3\ge0\)

d) \(a^4-2a^3+3a^2-2a+1>0\)

e) \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\)

f) \(\frac{x-x^2+1}{x-x^2-1}< 1\)

g) \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) với \(a+b=1\)

Answer 1

[Trần Đức Long]

Câu b) x/y + y/x >hoặc = 2

<=> x/y + y/x - 2 > hoặc = 0

<=> x^2 + y^2 -2xy /xy >hoặc =0

<=> (x-y)^2 /xy > hoặc = 0

(x-y)^2 > hoặc = 0 với mọi x;y .Dấu"=" xảy ra khi x=y

vì x;y cùng dấu =>xy>0

=>(x-y)^2 / xy > hoặc = 0 luôn luôn đúng.

Mà các Phép biến đổi trên là tương đương

=>x/y + y/x >hoặc =2 với mọi x;y cùng dấu. Dấu "=" xảy ra khi x=y. Nhớ nhé

Answer 2

[Trần Đức Long]

Câu g) a^2 + b^2 > hoặc =1/2 với a+b=1

vì a+b=1 =>(a+b)^2 = 1 =>(1*a+1*b)^2 =1

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho 4 số 1;1;a;b ta có

(1*a+1*b)^2 < hoặc = (1^2 + 1^2 )(a^2 + b^2).Dấu "=" xảy ra khi 1^2 / a^2 = 1^2 /b^2 =>1/a = 1/b=>a=b=1/2

Hay 1< hoặc = 2(a^2 +b^2) .Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2

=>a^2 + b^2 > hoặc = 1/2.Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2 =>đpcm