Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Xét tích: \(\left(2^{n+2}-1\right)\left(2^n+1\right)=\left(4.2^n-1\right)\left(2^n+1\right)=\left[3.2^n+\left(2^n-1\right)\right]\left(2^n+1\right)\)
\(=3.2^n\left(2^n+1\right)+\left(2^n-1\right)\left(2^n+1\right)=3.2^n\left(2^n+1\right)+\left(4^n-1\right)\)
Ta có \(\left(4^n-1\right)=\left(1+3\right)^n-1=B\left(3\right)+1-1=B\left(3\right)\) (với \(B\left(3\right)\) là bội của 3)
\(\Rightarrow4^n-1⋮3\)
\(\Rightarrow3.2^n\left(2^n+1\right)+\left(4^n-1\right)⋮3\)
\(\Rightarrow\left(2^{n+2}-1\right)\left(2^n+1\right)⋮3\), do đó ít nhất một trong hai số \(2^{n+2}-1\) hoặc \(2^n+1\) phải chia hết cho 3 (1)
Mặt khác xét hiệu \(2^{n+2}-1-\left(2^n+1\right)=3.2^n-2\) không chia hết cho 3 nên hai số trên không cùng số dư khi chi cho 3 (2)
Từ (1),(2) suy ra trong hai số \(2^{n+2}-1\) và \(2^n+1\) có một và chỉ một số phải chia hết cho 3
Bài giải
Ta có: n2 - 1 và n2 + 1 (n không chia hết cho 3, n > 2, n \(\in\)N gì đó)
Xét n:
Vì n không chia hết cho 3
Suy ra n2 chia 3 dư 1
Xét ba số tự nhiên liên tiếp: n2 - 1; n2; n2 + 1
Vì n2 chia 3 dư 1
Nên n2 - 1 \(⋮\)3
Suy ra n2 - 1 là hợp số
Vậy...
\(n\) lớn hơn 2 và ko chia hết cho 3 nên \(n\) tồn tại dưới 2 dạng là 3k+1 hoặc 3k+2.
Nếu \(n\) có dạng 3k + 2
n2 + 1 = ( 3k + 2 )2 + 1 = 9k2 + 12k + 5
n2 - 1 = 9k2 + 12k + 3 chia hết cho 3
=> Ko thể đồng thời là số nguyên tố
Nếu n có dạng 3k + 1
n2 + 1= ( 3k + 1 )2 + 1 = 9k2 + 6k + 2
n2 - 1= ( 3k + 1 )2 - 1 = 9k2+ 6k chia hết cho 3
=> Ko thể đồng thời là số nguyên tố
Vậy với n thuộc N , n > 2 và ko chia hết cho 3 thì n2 + 1 và n2- 1 ko thể đồng thời là số nguyên tố.
Chúc học tốt!!!
a, 2n+1 chia hết cho 21=>21 thuộc Ư(2n+1)
=>2n+1 thuộc {1,3,7,21}
| 2n+1 | 1 | 3 | 7 | 21 |
| n | 0 | 1 | 3 | 10 |
Vậy n thuộc{0,1,3,10}
2^n+2-1=2^n.2^2-1=2^n.3
Ta có : 3 chia hết cho 3
=> 2^n.3 chia hết cho 3
=> 2^n+2-1 chia hết cho 3