Question

[Nhok_baobinh]

CMR: Nếu x , y , z  là tập nghiệm của hệ phương trình:

              \(\hept{\begin{cases}x+y+z=5\\xy+yz+xz=7\end{cases}}\)

thì \(x;y;z\in\left[\frac{1}{3};3\right]\)

Answer 1

[pham trung thanh]

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=5\\xy+yz+zx=7\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z=5-x\\yz=7-x\left(5-x\right)\end{cases}}\)

Lại có: \(\left(y+z\right)^2\ge4yz\)

\(\Rightarrow\left(5-x\right)^2\ge4\left[7-x\left(5-x\right)\right]\)

Lấy vế trái trừ vế phải suy ra \(\left(x-3\right)\left(3x-1\right)\le0\)

Đến đây dễ rồi, tự làm tiếp nha

Answer 2

[oOo_superman_oOo]

1. Theo tôi nghĩ, chỉ cần x,y,z là ba số nguyên và chúng không đồng thời bằng nhau là được. Sau đây là lời giải. 
Từ giả thiết 
x^2 - yz = a 
y^2 - zx = b 
z^2 - xy = c 
ta suy ra 
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c # 0 (vì x,y,z không đồng thời bằng nhau); 
và 
x^3 - xyz = ax 
y^3 - xyz = by 
z^3 - xyz = cz. 
Cộng các đẳng thức theo vế, ta được 
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ax + by + cz. 
Sử dụng hằng đẳng thức x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) và x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c thì đẳng thức trên được viết lại 
(x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz. 
Suy ra ax + by + cz chia hết cho a + b + c. 
2. 
Từ phương trình 
x + y + z = a + b + c (1) 
ta có 
x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca); 
và vì x^2 + y^2 + z^2 = a^2 + b^2 + c^2 (2) nên 
xy + yz + zx = ab + bc + ca (3). 
Lại vì 
x^3 + y^3 + z^3 = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + 3xyz; 
a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) + 3abc; 
x^3 + y^3 + z^3 = a^3 + b^3 + c^3 
cùng các giả thiết (1),(2),(3) ta suy ra 
xyz = abc (4). 
Từ đó, hệ đã cho tương đương với 
x + y + z = a + b + c 
xy + yz + zx = ab + bc + ca 
xyz = abc. 
Áp dụng định lí Vi-ét đảo, ta suy ra x,y,z là ba nghiệm của phương trình 
t^3 - (a + b + c)t^2 + (ab + bc + ca)t - abc = 0. 
Phương trình này có các nghiệm là t = a, t = b, t = c. 
Suy ra, nghiệm (x ; y ; z) của hệ đã cho là (a ; b ; c), (a ; c ; b), (b ; a ; c), (b ; c ; a), (c ; b ; a), (c ; a ; b). 
3. 
Gọi A là biểu thức đã cho, phân tích biểu thức đã cho thành tích, ta được 
A = n(n^4 - 5n^2 + 4) 
= n(n^2 - 1)(n^2 - 4) 
= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) 
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2). 
Vậy là biểu thức đã cho là tích năm số nguyên liên tiếp. 
Vì trong 5 số nguyên liên tiếp có đúng 1 số chia hết cho 5 nên A chia hết cho 5. 
Vì trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất 1 số chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. 
Vì trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất 1 số (thứ nhất) chia hết cho 2 và ít nhất 1 số (thứ hai) chia hết cho 4 nên A chia hết cho 8. 
Suy ra A chia hết cho BCNN(5 ; 3 ; 8) và vì BCNN(5 ; 3 ; 8) = 120 nên A chia hết cho 120.