NM
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
16 tháng 2 2018
ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=9\)
áp dung bu nhi a \(2\left(y^2+z^2\right)\ge\left(y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(9-x^2\right)\ge\left(5-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow18-2x^2\ge25-10x+x^2\)
\(\Leftrightarrow0< =3x^2-10x+7\)
suy ra 1<=x<=7/3
1 tháng 8 2020
Bài 1:
Ta có: a,b không âm(gt)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}\) và \(\sqrt{b}\) được xác định
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
6 tháng 8 2016
Ta CM : A= \(6n^5+15n^4+10n^3-n\) chia hết cho 30
+A = \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n^3-n\right)\)= \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) => A chia hết cho 3 với mọi n thuộc N
+A= \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+\left(n^4-n\right)\) = \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)=> A chia hết cho 2 .
+ A = \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+\left(n^5-n\right)\)= \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chiaa hết cho 5 ( bạn chứng minh ccais cuối chia hết cho 5 = 5 TH)
=> A chia hết cho 2 .3.5 = 30
=> dpcm
17 tháng 9 2017
xét (2a+3b)(2b+3a)=\(4ab+6b^2+9ab+6a^2=6\left(a^2+b^2\right)+13ab\)
mặ khác ta có \(13ab⋮13\)\(a^2+b^2⋮13\left(gt\right)\Rightarrow6\left(a^2+b^2\right)⋮13\)\(\Rightarrow\left(2a+3b\right)\left(2b+3a\right)⋮13\)
\(\Rightarrow\)2a+3b hoặc 2b+3a chia hết cho 13
10 tháng 10 2016
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp :
Dễ thấy BĐT đúng với n = 1,2
Giả sử BĐT đúng với n = k (k là số tự nhiên) , tức \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\)
Ta sẽ chứng minh BĐT cũng đúng với n = k+1 , tức là \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
Ta có : \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)
Cần chứng minh \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)
Điều này tương đương với \(k\sqrt{k+1}+\sqrt{2}.\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{k+2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k^2+3k+2}-\sqrt{2}-k\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{k^2+3k+2}\ge k+\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{k^2+3k+2}\right)^2\ge\left(k+\sqrt{2}\right)^2\) (Vì k là số tự nhiên)
\(\Leftrightarrow k^2+3k+2\ge k^2+2\sqrt{2}k+2\)
\(\Leftrightarrow3k\ge2\sqrt{2}k\) (luôn đúng)
Vậy giả thiết quy nạp đúng.
Ta có điều phải chứng minh.
JA
10 tháng 10 2016
Ngoài cách của Hoàng Lê Bảo Ngọc, mình sẽ giải cho bạn cách khác
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski:
\(\left(x_1+x_2+x_3+...+x_n\right)^2\le n\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2\right)\)
Suy ra ta có:
\(\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\left(1+2+3+...+n\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Do đó:
\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)(đpcm)
12 tháng 9 2018
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
VT
26 tháng 12 2017
ta có ...=\(\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}\)
ta có \(5n^3+7n=n\left(5n^2+7\right)\)
xét n chia hết cho 3 thì \(5n^3+7n⋮3\Rightarrow5n^3+7n+3n^5⋮3\)
xét n không chia hết cho 3 =>\(n^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow5n^2\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5n^2+7⋮3\)
=>\(5n^3+7n+3n^5⋮3\forall n\in Z\)
ta có \(3n^5+7n=n\left(3n^4+7\right)\)
xét n chia hết cho 5 =>\(3n^5+7n+5n^3⋮5\)
xét n không chia hết cho 5 =>\(n^4\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3n^4\equiv3\left(mod5\right)\Rightarrow3n^4+7⋮5\)
=>\(5n^3+3n^5+7n⋮5\forall n\in Z\)
=>tử chia hết cho 15 => ... là số nguyên (ĐPCM)
PA
10 tháng 5 2018
\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)
\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
➤➤➤Chứng minh:
➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
➢ \(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)
➤ \(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)