Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)-n}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< 2\sqrt{n+1}-2\)
- Ta xét : \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-\left(n-1\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)< 2\sqrt{n}\) ;
ta có ...=\(\frac{3n^5+5n^3+7n}{15}\)
ta có \(5n^3+7n=n\left(5n^2+7\right)\)
xét n chia hết cho 3 thì \(5n^3+7n⋮3\Rightarrow5n^3+7n+3n^5⋮3\)
xét n không chia hết cho 3 =>\(n^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow5n^2\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5n^2+7⋮3\)
=>\(5n^3+7n+3n^5⋮3\forall n\in Z\)
ta có \(3n^5+7n=n\left(3n^4+7\right)\)
xét n chia hết cho 5 =>\(3n^5+7n+5n^3⋮5\)
xét n không chia hết cho 5 =>\(n^4\equiv1\left(mod5\right)\Rightarrow3n^4\equiv3\left(mod5\right)\Rightarrow3n^4+7⋮5\)
=>\(5n^3+3n^5+7n⋮5\forall n\in Z\)
=>tử chia hết cho 15 => ... là số nguyên (ĐPCM)
Đặt \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=a;\frac{5+\sqrt{21}}{2}=b>0\) thì \(ab=1\)
*Chứng minh an là số tự nhiên.
Với n = 0, 1 nó đúng. Giả sử nó đúng đến n = k tức là ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^{k-1}+b^{k-1}\inℤ\\a^k+b^k\inℤ\end{cases}}\). Ta cần chưng minh nó đúng với n = k + 1 hay:
\(a^k.a+b^k.b=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\)
\(=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\inℤ\) (em tắt tí nhá, dựa vào giả thiết quy nạp thôi)
Vậy ta có đpcm.
Còn lại em chưa nghĩ ra
Đặt biểu thức trung gian là :
\(B=\frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+...+\frac{1}{n^2-1}\) thì \(A< B\)
Còn \(B=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{2.4}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{5}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)< \frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Vậy \(A< 3< \frac{3}{4}< 1.\)
Cách 2. Gọi biểu thức trên là A.Ta làm trội:
\(\frac{1}{x^2}\left(x\ge2\right)=\frac{1}{x.x}< \frac{1}{\left(x-1\right).x}\). Khi đó, áp dụng vào,ta có:
\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)
\(=1-\frac{1}{n}< 1\forall n\ge2^{\left(đpcm\right)}\)
Ta CM : A= \(6n^5+15n^4+10n^3-n\) chia hết cho 30
+A = \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n^3-n\right)\)= \(\left(6n^5+15n^4+9n^3\right)+\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) => A chia hết cho 3 với mọi n thuộc N
+A= \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+\left(n^4-n\right)\) = \(\left(6n^5+14n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)=> A chia hết cho 2 .
+ A = \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+\left(n^5-n\right)\)= \(\left(5n^5+15n^4+10n^3\right)+n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\) chiaa hết cho 5 ( bạn chứng minh ccais cuối chia hết cho 5 = 5 TH)
=> A chia hết cho 2 .3.5 = 30
=> dpcm
Mình camon nha =))