CC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DD
1
L
0
TN
25 tháng 6 2017
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
\(=\frac{a^4}{a\left(a^2+ab+b^2\right)}+\frac{b^4}{b\left(b^2+bc+c^2\right)}+\frac{c^4}{c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a\left(a^2+ab+b^2\right)+b\left(b^2+bc+c^2\right)+c\left(c^2+ca+a^2\right)}\)
Cần chứng minh \(\frac{\left(Σ_{cyc}a^2\right)^2}{Σ_{cyc}a\left(a^2+ab+b^2\right)}\ge\frac{Σ_{cyc}a}{3}\)
Nhân ra và nó đúng theo BĐT Schur
9 tháng 9 2018
\(\frac{a^3}{b+2c}+\frac{b^3}{c+2a}+\frac{c^3}{a+2b}=\frac{a^4}{ab+2ac}+\frac{b^4}{bc+2ab}+\frac{c^4}{ca+2bc}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\)
Đề sai
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwars:
\(a^3+b^3\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{2}\)
\(b^3+c^3\ge\frac{\left(b+c\right)^3}{2}\)
\(c^3+a^3\ge\frac{\left(a+c\right)^3}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\frac{\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3}{2}\)
\(\Rightarrow4\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3\)